数学思想方法在排列组合中的应用

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1、数学思想方法在排列组合中的应用　　摘要：排列组合应用问题是不少学生感到头痛的问题，他们在具体处理时，由于对问题的认识理解不到位，因而不能准确的获得问题求解的结果，那么究其原因，除不少学生对应用题缺乏正确的分析判断能力外，还在于他们不能正确的应用相关的数学思想和数学方法去处理这一方面的问题，下面就这一部分的问题谈谈数学的思想方法的应用。　　关键词：排列组合；划分性；顺序性；灵活性；变异性　　一、要抓住排列组合问题中所体现的划分性原则去求解问题　　排列组合这一部分知识，一开始给出了一个重要的原理：即加法原理和乘法原理。其中加法原理明确的告诉我们，对于任何一个排列组合问题，应首先根据问题的要求，利用

2、划分性原则，把问题解决中的各种相互独立的类一一划分出来，才能得到正确的求解结果。因此教学中应充分借助划分性原理，通过对问题的分析教会学生找到问题解的各类彼此独立的情况，然后再对每一类独立情况下的解依乘法原理加以计算。如：　　例1如下图所示，A、B、C、D、E为五块不同的地域，若要用六种不同的颜色去涂这五块，要求相同的区域不能用相同的颜色去涂，问有多少种涂法？　　分析：依题要求。完成符合题意要求的涂法有三类相互独立的方案如下：　　分类方案之一：五块区域用五块不同的颜色去涂；4　　分类方案之二：五块区域用四中不同的颜色去涂；　　分类方案之三：五块区域用三种不同的颜色去涂；　　应该说，如果数学中通过

3、分析能够教会学生自己划分这些彼此独立的涂法，那么问题的求解便有了一个良好的开端了。当然利用划分性原则对问题的各种彼此独立且各成一支的情况进行划分时，须严格注意两条原则：①不重复②不遗漏。这也就是一切可能成为解决问题的独立情况中的“独立”及“一切”，对于此二点划分时须确认一个划分的标准亦即“立足点”。如例1中五块区域所涂的颜色不能相同，一旦标准明白了，划分成那些“类”也就明白了。　　二、要充分利用排列组合问题中所体现的顺序性原则去求解问题　　排列组合问题是一个顺序性十分明确的问题，因此教学中应充分把握好如何根据问题的内涵领悟概念中体现出来的顺序，应认真分析题意让学生明白问题的求解应分成哪些相互关

4、联的步骤，以便让学生能依次有序的对问题进行求解，事实上，对任何一个排列组合问题在求解时应首先考虑如何从中选出符合题意要求的元素来，然后在选出元素后再去考虑是否要对选出的元素进行排队。　　三、根据灵活性原则切实用好“直接法”和“间接法”这两种求解问题方法　　在排列组合问题的求解中，常常使用的方法是“直接法”和“间接法”4，但是就一个具体问题而言，究竟选用这两种方法中的哪一种却会使我们的求解过程繁易不同，因此教学中应着重说明这两种方法的使用要点和大致使用范围，并通过实例分析探究具体问题在使用这两种方法求解时的优劣情况，以教会学生会根据具体问题灵活选用某一种方法去简明的求解问题。如下例：　　例2四个

5、编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子放一个小球，求球号与盒号均不对应的方法有多少种？　　直接法：　　顺序一：先放1号球入盒有三种方法；　　顺序二：将1号球安置入的盒号对应的球进行安置，显然有三种方法；　　顺序三：安置剩下的两个球入盒只有一种方法。故3×3×1=9；　　但由于直接法处理时的顺序二学生不易考虑，因此此问题通常采取间接法处理如下：　　间接法：不考虑要求将编号1，2，3，4的球放入编号为1，2，3，4的盒子内，每一个盒子内放一个球的方法为24种，其中不合要求的情况有：　　（1）四个球的球号与四个盒的盒号全对应的情况有1种；　　（2）两个球的球号与两个

6、盒的盒号对应而另两个不对应的情况有6种；　　（3）一个球的球号与一个盒的盒号对应而另三个不对应的情况有8种；　　故该问题共有24-1-6-8=9种解法。　　相比之下，间接法要好一些，因此间接法处理问题是排列组合问题求解时一种十分重要的方法。　　四、要注意应用变异原则求解问题4　　排列组合题在处理过程中有一个值得研究的问题那就是究竟从哪一个角度出发去解决问题。应该说有些问题，若选择的切入角度得当，则问题的求解简便，否则便会变得复杂难解，教学中应通过实例说明，应该怎样对待一个问题进行认识，以求找到解决它的最优方案，同时要给出问题从不同角度求解的情况，让学生通过求解比较他们的优劣，以期达到给学生会注

7、意应用变异性原则去求解问题。　　（作者单位：河南省商丘市实验中学）4