注重数学思想方法在实际中的应用

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1、注重数学思想方法在实际中的应用湖北省松滋市南海镇新当中学肖芝梅在数学教学过程中，随着新课程理念的落实，更注重引导学生把数学知识应用到实际生活中去。而数学知识内含着丰富的数学思想方法，数学思想方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思想方法、并灵活应用它解决实际问题，才能体验数学的价值、形成个人的数学素养并转化为能力。为了帮助同学们理清数学思想方法在实际中的应用，现举例如下：一、分类讨论思想方法分类讨论指在解决问题时将可能产生的几种情况不重不漏地进行分类，是使解题过程清晰明了、考虑问题更加全面的一种严密思维策略.例1已知a是有理数，试比较

2、a

3、与－2a的大小

4、.分析由于a是有理数，则a可能是正数、0或负数，所以分三类讨论.解当a＞0时，

5、a

6、=a＞0－2a=0∴

7、a

8、＞－2a当a=0时，

9、a

10、=0－2a=0∴

11、a

12、=－2a当a＜0时，

13、a

14、=－a＞0－2a＞0∴

15、a

16、＜－2a例2等腰△的周长为13，其中一边长为3，则该等腰△的腰长为。分析本题需对3为腰或3为底分类讨论解当3为腰时，则底为13－3－3=7又3+3＜7不合题意当3为底时，则腰长为（13－3）÷2=5故应填5例3在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD=8cm，直径AB⊥CD，垂足为点E，则AE的长为Cm．分析本题中CD弦的位置有两种情况，应分类讨

17、论解在图（1）中，由垂径定理求得CE=CD=4，连结OC，则OC=5，可求OE=3∴AE=2同理，在图（2）中，AE=8，故AE的长为2或8二、化归转化的思想方法化归转化是把一般问题转化为特殊问题、把顺向思维转化为逆向思维，是解决新问题、获得新知识的一种基本的思维方式。例4计算（2+1）（2+1）（2+1）……（2+1）分析在式子前添上（2-1），便化归为反复运用平方差公式解原式：=（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）……（2+1）4=（2－1）（2+1）（2+1）……（2+1）=……=（2）－1=例5如图所示，已知△ABC中，AB=AC，点F

18、在AC上，在BA的延长线上取点E，使AE=AF，求证EF⊥BC.分析：要证EF⊥BC，而BC为等腰△ABC的底边，据此作出辅助线将问题转化为证EF∥AD.证明延长EF交BC于G，作AD⊥BC于D.∵AB=AC∴∠1=∠2=∠BAC∵AE=AF∴∠E=∠3又∵∠BAC=∠E+∠3∴∠1=∠E∴EF∥AD∵AD⊥BC∴EF⊥BC例6一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P的周围18海里内有暗礁，若轮船仍按15海里/时的速度向前航行，有无触礁的危险？分析解决这类实际问题，关键

19、是审题、画出符合题意的图形，把它转化为数学问题.解过P作PC⊥AB于C，由题意知∠CAP=15°∠CBP=30°∵∠BPA=30°－15°=15°=∠CAP∴PB=BA=15×2=30在Rt△PCB中,PB=30，∠CBP=30°∴PC=PB=15∵15＜18即小岛P到航行AB的距离只有15海里.而小岛周围18海里内有暗礁，故该船继续向北航行会有触礁的危险。三、数形结合的思想方法数形结合指数学表达式与数学图形相结合，是把要解决的问题用图形的形式描述出来、能化繁为简的一种数学思想方法。例7已知a＜0＜cab＞0

20、b

21、＞

22、c

23、＞

24、a

25、化简

26、a+c

27、+

28、

29、b+c

30、－

31、a－b

32、分析4解此题关键是确定a+c，b+c，a－b的符号，于是根据条件可确定a、b、c在数轴上对应的大致位置。解由数轴知a+c＞0，b+c＜0，a－b＞0根据绝对值概念得

33、a+c

34、+

35、b+c

36、－

37、a－b

38、=a+c－b－c－a+b=0例8在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2）以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第象限。分析利用已知条件正确画图、数形结合，能起到事半功倍的作用.解A、B、C三点位置如图所示，要使四边形ABCD为平行四边形，则点D有三种可能，即分别以AB、AC、BC为

39、对角线的平行四边形，故第四个顶点不可能在第三象限。例9如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，学校是否会受到噪声影响？请说明理由.如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？分析借助图形来研究数量关系,能简捷明快地解答此题.解（1）作AD⊥MN于点D，在Rt△ADP中，∠APD=30°∴AD=AP=×160=80（m）∵80＜100∴学校会受影响（2）以A为圆心，100m为半径

40、画弧交MN于B、C两点，则BC为使学校受影响的路段，连接AB，在Rt△ABD中，BD=（m）∵AD⊥BC∴BC=2BD=2