数列问题中的数学思想方法

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1、数列问题中的数学思想方法电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号码13037341167；电话07342518006；QQ：406426941湖南祁东育贤中学周友良421600数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。一、函数思想数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成

2、是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。例1.已知数列的通项公式，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？分析：根据条件，数列的点都在函数的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。例2．已知数列是等差数列，若，，求。解：，故为等差数列，其通项为一次函数，设，则点，，在

3、其图象上，，，，故，解之得：。评注：是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解。例3．设等差数列的前n项和为，已知，，。（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、……中哪一个值最大，并说明理由。分析：对于（1），可考虑由，建立关于d的不等式组，对于（2）由是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。解：（1）由知，。（2），是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为：，，，故当整数时，最大，即最大。评注：对于等差数列来说，是n的二次函数，且常数项为零，可写为的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于，，故图象与

4、x轴的另一交点横坐标，满足，故对称轴为，，因此，判定时最大，以上思维过程更为简捷。例4．等差数列的首项是2，前10项之和是15，记求及的最大值．分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“”这一表达式准确、全面的认识：是数列的子数列，其中2，4，8，……，组成等比数列，则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求最大值的不同解法．解：设等差数列的公差为d，由已知：，解得求的最大值有以下三种解法．解法一：由令，解得又，解得即在数列中：，所以当时，的值最大，其最大值为：解法二：数列的通项令，得，由此可得故使，的

5、最大值为4．∴解法三：由，若存在自然数，使得，且，则的值最大．解得，取时，有最大值：反思回顾：上述三种求最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列的单调性及值的正负，求子数列的前n项和的最值．解法二是直接研究子数列．解法三是研究的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数的单调性．一、方程思想数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。例5、设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项，求的通项公式。解：由题意可知整理得

6、：，当时解得。又-，整理得：，又，，即是首项为2，公差为4的等差数列，。点评：本例利用了方程的消元思想由、消去得到了这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助消去利用递推关系解题。例6、已知等差数列的公差是正数，并且，求前n项的和。解：由等差数列知：，从而，故是方程的两根，又，解之，得：。再解方程组：，所以。点评：本题利用了这一性质构造了二次方程巧妙的解出了，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与（或）找出解题的捷径。。一、分类讨论思想所谓分类讨论，就是当

7、问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。例7、已知等差数列的前n项的和，求。解：（1）当时，；（2）当时，；综合（1）（2）可知。点评：此例从分的体现了与的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是中脚码必须为正整数。例8．已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解：（Ⅰ）由题设（Ⅱ）若当故若当故对于例9．（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn

8、－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：先考虑偶数项有：………同理考虑奇数项有：………综