数学思想方法在解题中的运用

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1、数学思想方法在解题中的运用中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：随着新课程标准的逐步实行，在考查学生基础知识和基本技能的同时，-1•分注重考查学牛的思维能力，因此思维能力的培养显得尤为重要。事实上，只有掌握了数学思想方法，才能真正地掌握数学知识，才能将数学知识转化为能力，本文举例说明数学思想方法在解题中的运用。一、分类思想分类讨论可以使解题过程清晰明了，使解答更为严密完整，分类时要注意不重复，不遗漏。例1如果实数a、b满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+l)二3-(b+1)2,那么+的值

2、为。简析本题对a二b,aHb分类讨论，否则漏解。解显然aHO,bHO当a=b时，+=2当aHb时，由条件a+1,b+1是x2+3x~3二0的两根，由韦达定理可得：a+b=_5,ab二1,从而二、转化思想我们都熟知，古时候有“司马光砸缸”和“曹冲称象”的故事，他们考虑问题冇标新立异的构思，解决问题时别出心裁的方法。今天我们解决许多数学问题都需耍这种创新思维，而创新思维的重耍方面就是转化思想通过转化使问题变得简单、明白、易解。例2、已知0

3、C)a+b2(D)a2+b分析乍看这类字母问题似乎不知如何下手，其实用符合条件的“特殊值”代入各个选择项计算，则可轻松获解。不设防a二0.5,b=-0.5o代入计算便可发现应选答案B。注：这种思考方法在解决某些填空题，往往能快速止确地求出答案,一般地代数题，可用特殊值，几何题特殊点考察比较方便。这就是将一般转化为特殊。例3已知(-1)二2求a+b的值分析在本题中若想，求出a、b的值，这是很难的，但若把a+b看成一个整体，设二t,则方程可化为非常简单的一元二次方程t(t-l)=2,容易求岀t,从而求得a+b

4、的值。这就是将局部转化为整体。三、换元思想换元思想是指通过变元或式表示，代替或转换为某些确定的数学对象，将数学问题化繁为简、化难为易，从而达到化未知到已知的终极目标的一种思维倾向。例4若A二，B二3636X3638,比较A、B的大小分析直接通过数值计算來比较将会繁杂，由观察可知乘积中的四位数因数具有明显的结构特征和联系，能否具有一般规律，不妨元元试之解由对称结构，可设3637二a,则A—B二一(a~l)(a+1)二一(a2-l)二(a2-10)—(a2-l)二-9<0A

5、6分析直接化为整式方程，将得到一个高次方程，通常是较难求解的,如果能将原方程适当变形，通过换元来解就显得容易多了。解原方程可变形为2(x-)2-7(x-)+6=0.设x—二y,则方程化2y2-7y+6二0,解出y后再代入y二x-一中求x(下略)四、方程思想算式表示用算术方法进行计算的程序，列算式依据问题中的数量关系，算式中只能含C知数而不能含未知数。列方程也依据问题中的数量关系(特别是相等关系)，它打破了列算式时只能用已知数的限制，方程屮可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数进入式子是新的突破，正因

6、如此，一般来说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。例6如图，正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求所围成的图形（阴影部分）的面积此题可直接求阴影部分或先求空白部分而求得解答，这是算术解题思想的体现，如果将阴影部分与空白部分联系起来考虑，运用方程思想，可建立以下方程组：解出X即得结论。例7化下列循环小数为分数化循环小数为分数，常用极限知识（无穷等比数列各项的和）去解决，这超出了初中数学的知识范围，这里用方程去解显得更为简洁。解设二x二100x,即23+二100x23+x二l

7、OOxx二，即二数学还冇数形结合，类比函数思想等等，只要我们平时学习时留意观察，勤于思考，就能培养良好的思维品质，不断提高我们解决问题的能力。注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。