数学思想方法在解题中的应用.doc

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1、数学思想方法在解题中的应用在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。例1.已知方程有实数根，求m的取值范围。分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。解：（1）当，即，方程为一元一次方程，有实数根；（2）当，即时，方程为二次方程。由有实根的条件得：所以，且综合（1）、（2），得：评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种（

2、1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。例2.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。解析：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即。又由于方程均有实数根，所以解得：又解得：所以又m是整数，且，且或1当时，方程为，解得方程的根为，它的根不是整数，故舍去。当时，方程的根为，方程根为，均为整数，所以。评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。例3.已知关于x的方程：（

3、1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。（2）若这个方程的两个实数根满足，求m的值及相应的。解：（1）所以不论m取何值，总有所以，即所以方程总有两个相异的实根。（2）因为所以或①若，则所以所以此时所以②若，则所以所以，此时所以评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。例4.若实数a、b满足，求的值。解：由方程根的定义，知a、b是方程的两个根所以所以事实上，题设中的a与b是可以相等的，当时，原式＝2综上所述：当时，原式，当时原式＝2评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。从上面例题我们可以

4、归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明确讨论的对象；（2）进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳并作出结论。