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《浅谈数学思想方法在高中解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈数学思想方法在高中解题中的应用（学员：蒋双善）摘要：本文从理论上阐述了四种基本数学思想方法即函数与方程的思想、数行结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、整体思想和分合思想在高中数学解题中的重要作用。文章给出了相应的例题讲解和说明，对于深刻挖掘数学思想在初等数学屮的地位，做了初步的探索和研究。关键词：数学；思想方法；函数；方程；数形结合；转化；分类讨论;整体思想；分合思想数学源于生活，源于观察，生活中的许多看似与数学无关的问题都可以用数学的眼光、数学的思想来解决。既然生活中充满了“数学”，那么高中的数学题更是充满了“数学”
2、。数学家波利亚说过：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”尽管数学题千变万化、层出不穷，其实当我们着手去解决时，都会有一定的方向、一定的道路，而给我们引领方向、带领道路的正是数学思想。在高中数学学习中，常见的数学思想有四类：函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，整体思想和分合思想。一、函数与方程的思想函数思想，就是用运动和变化的观点，分析了研究具体问题中的数量关系,通过函数式，把这种数量关系表示出来并加以研究从而使问题获得解决。如果变量间的数量关系是用解析式表示出来的，那么可以把解
3、析式看作一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得以解决，这就是方程思想。我们在高一常遇到一些集合、函数、方程的相关问题，下面来看这样一道例题:例1、已知加，为正奇数，求方程sinh+—^=cosh+—!厂的所有实数解。cosmxsinmx分析：一看题目，方程含有三个未知数，那怎么求其中兀的呢？不要慌张,再观察方程，似乎有点对称。当把方程移一移项，可以变成sinh=cos"兀,这不是WJ以构造函数/(x)=兀"———吗？是不是有些头sinmxcosmxxm绪了，再思考：兀要在区间［-l,O)u(O,l］±,既然"〃都为正奇数了，不
4、是可以通过/(兀)的单调性来求解了吗？解:Tsinnx+——=cosh+——cos"'兀sin"兀I„1sinx=cosxsirTkcos'"兀令/(x)=xn--^(xe[-1,O)u(O,l])X•・•w为正奇数①当"[-1,0)时，g(x)=xn为单调增函数，Q⑴=-丄为单调增函数X・•・/⑴为单调增函数又/(sinx)=/(cosx)/.sinx=cosxZ.X=k7T十冷(kGZ)②当XG(0,1］吋，g(x)=x"为单调减函数,^u)=—L为单调减函数X・•・/◎)为单调减丙数X/(sinx)=/(cosx)sinx=c
5、osx/.x=kjr+—(keZ)综上所述，原方程解为”兀=炽+彳,RwZ可以看到，将方程问题利用构造函数考虑，一切都迎刃而解了。再看一个例子。例2、于⑴和gd)的定义域都是非零实数集,/⑴是偶函数，g⑴是奇函数,且心)+曲)=—，‘求凹的取值范围。Q-x+lgW分析：已知两个函数的和，求商，好象从未见过。许多同学就是这样的惯性思维，只看符号，不注重文字，其实这一题的关键在于“/⑴是偶函数，g⑴是奇函数”。看到这点，便马上反应过来,有/(X)=/(-X),g(x)=-g(-x),乂有/(F-g(F=—再把T换成兀。到这里不能再把/(
6、x),g(x)当函数解析式来2—X+1看了，知道了7(兀)+g⑴,f(x)-g(x)不就可以把它们当成两个未知数，去解一个二元一次方程组。解：•・•/(>)为偶函数,gO)是奇函数••・/(X)=f(-x)9g(x)=-g(-x).•・f(x)+g(x)=f(-x)-g(-x)=—1~~-x~-X+}/'(x)-gCr)二一-①JT+兀+1又/W+g(Q=——-②.八)一(/+兀+1加7+1)••rg⑴(x2+X4-1)(X2-x+l)空亠十丄g(x)X兀/.①当兀v0时，-=一(一兀--)<-2l(-x)—^—=—2g(兀)兀V(
7、一兀)②当尤〉0时,/Mg(兀)综上所述，但的取值为(-00,-2卜［2,+00)gM二、数形结合的思想数学家华罗庚曾写过如下诗句：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形缺少数时难入微，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数与形的完美结合，产生了数与形的辨证关系：数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述，代数论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。请看下面的例题。例3、设％分別是方
8、程log2x+%-3=0和2'+x-3=0的根，求a+b及log2^+2z,的值。分析：很自然，当我们看到题目，总急不可待把恥代入原方程：Jlog2d+a-3二0[2h+b-3=0一看，两式相加不就能构造出(log2d+2")+(a+
