数学解题中常用的数学思想方法漫谈

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1、数学解题中常用的数学思想方法漫谈　　内容摘要：解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。方程的思想是对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法。转化与化归是借助某种函数的性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题。数形结合思想，将抽象复杂的问题中选择最简单的思想方法，从而提高解题能力。　　关键词：函数与方程　转化　数形结合　　数学思想方法是数学的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数

2、学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力。中学常用的数学思想方法有：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归、特殊到一般、分析与综合、换元法、整体思想等。数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常统称为“数学思想方法”。下面我们将从函数与方程、转化与化归、数形结合三个方面进行系统地阐述它们各自的内涵以及在数学学习中各部分的具体应用，更加深刻系统地去认识这三种常用的数学思想，体会其在解决数学

3、和实际问题的作用价值。　　1.函数与方程的思想方法7　　函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思

4、维方法，分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。　　1.1在解直角三角形方面的应用　　例1　已知x，y∈［-■，■］，且①：x3+sinx-2a=0，②：4y2+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值。　　解：设f（u）=u3+sinu。　　由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=-2a。　　因为f（u）在区间［-■，■］上是单调奇函数，　　所以f（x）=-f（2y）=f（-2y）。　　又因为

5、x，－2y∈［-■，■］，　　所以x=-2y，即x+2y=0。所以cos（x+2y）=1。　　1.2在立体几何方面的应用　　例2　如图1，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。7　　分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设出变量，建立目标函数而求函数最小值。　　解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H。设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD。　　∴　MD2＝x2

6、＋［（2r－x）sinθ］2　　＝（sin2θ+1）x-■2＋■，　　即当x=■时，　　MD取最小值■为两异面直线的距离。　　1.3在数列方面的应用　　例3　已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：x，y，z成等差数列。　　解析：按等差数列的定义，即证x-y=y-z。因此只需证明以x-y，y-z为根的二次方程，即t2+（z-x）y+（x-y）（y-z）=0的判别式Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，而这正是题设条件，∴　x-y=y-z，根据等差数列的定义知，x，y，z成等差数列。　　

7、由此可见，函数和方程的观点可以比较容易地解决一些中学的最值、不等式、数列、解析几何、立体几何等方面的问题。　　2.转化与化归的思想方法7　　转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。等价转化总是将抽象转化为具体、复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理地寻找和选择问题解决的途径和方法。转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的

8、问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换，在中学数学中，常见的化归基本形式有以下几种。　　2.1数与数之间的转化　　例如，计算某个算式得出数值，化简某个解析式得出结果，变形所给出的方程求解，变形所给的不等式求出解集以及函数、方程、不等式之间的互相转化等。　　例4