数学解题思想方法漫谈

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1、第二十二讲解题思想方法漫谈   学习数学必须善于解题,当代美国著名数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)说过这样的话:“问题是数学的心脏.”当代最著名的数学教育家、美国的波利亚曾说过:“掌握数学意味着什么?这就是说善于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题.”所以,有志于学好数学的同学,除了学好课本知识以外,还需要学习一些数学解题的思想方法和技巧.本讲将介绍一些常用的数学解题方法.  1.化归  所谓“化归”,是指把要解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经

2、解决或者能比较容易解决的问题中去,最终获得原问题解答的一种解题策略,化归从某种意义上来说就是“化简”.匈牙利著名数学家罗莎·彼得(RoszaPeter)在他的名著《无穷的玩艺》中,通过一个十分生动而有趣的笑话,来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.  有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,某人回答说:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放到煤气灶上.”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道:“如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够多的水,那

3、么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气,再把水壶放上去.”但是更完善的回答应该是这样:“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做,而数学家们却会回答:‘只须把水壶中的水倒掉,问题就化归为前面所说的问题了.’”  “把水倒掉”,这就是化归,这就是数学家们常用的方法.  例15这个数,可以写成3个自然数之和,如果计入不同的顺序,则有6种方式,即5=1+1+3=1+3+1=3+1+1=1+2+2=2+1+2=2+2+1.  设n是大于5的自然数,问n可以用多少种方式写成3个自然数之和(计入

4、顺序)?  分析对于5,我们把5写成:1+1+1+1+1.对于它的每一种写成3个自然数之和的方式,对应着从4个加号中选2个加号的方式.例如1+1+3,实际上就是选前两个加号,1+2+2是选第1和第3个加号,2+2+1是选第2和第4个加号,等等.所以5写成3个自然数之和的方式个数,实际上等于(化归!)在4个加号中选2个的所有选法数,即  解把n写成n个1的和n=1+1+1+…+1.  例2(1)13个小朋友围成一个圆圈,从圈上至多能选出几个人,使得他们互不相邻?  (2)从1,2,…,13这13个数中至多可以选出几个

5、数,使得选出的数中,每两个数的差既不等于5,也不等于8?  解(1)把这13个小朋友依次编号为1,2,…,13,如图3-124所示,那么选6个人是可以的,例如,选1,3,5,7,9,11号这6位小朋友,他们是不相邻的.    现在来说明至多可选6名.先任意选定1个,不妨设为1号,这时候与他相邻的2号与13号不能选了.把剩下的10位小朋友配成5对:(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(11,12).在这5对中,每一对中至多只能选出1个,连同1号在内,至多可选出6个人,他们互不相邻.  综上所述,从圈上至

6、多能选出6个人,他们互不相邻.  (2)我们把这题“化归”为(1).   我们把1,2,…,13按如下规则排成一个圆圈:先排1,在1的旁边放9(与1的差为8),在9的旁边放4(与9的差为5),…这样继续放下去,每个数旁边的数与它相差8或5,最后得到图3-125所示的一个圈.圈上的数满足:  (i)每两个相邻的数的差或是8,或是5;  (ii)两个不相邻的数的差既不等于5,也不等于8.  于是问题(2)就转化为:在这个圈上至多能选几个数,使每两个数在圈上不相邻?由(1)的结论知,答案是6.例如,选1,4,7,10,1

7、3,3.   2.选择有效的记号  在处理某些问题时,一开始就选择好有效的记号,或对一些量进行赋值,或给出一个数的某种表示,这往往是解题的关键.  例3n个点A1,A2,…,An顺次排在同一条直线上,将每个点染上红色或蓝色.如果线段AiAi+1(1≤i≤n-1)的两端颜色不同,就称它为标准线段.已知A1与An的颜色不同,证明:在AiAi+1(i=1,2,…,n-1)中,标准线段的条数为奇数.  证对A1,A2,…,An中的每一个点Ai赋值,将点Ai与数ai相对应:   设这n-1条线段中有m条是标准线段,那么(a1

8、a2)·(a2a3)·…·(an-1an)=(-1)m.另一方面,有      所以(-1)m=-1,故m是奇数.  所以,标准线段的条数是奇数.  例4(1)如果n是一个正整数,使得2n+1是一个完全平方数,证明:n+1是两个相邻的完全平方数之和;  (2)如果正整数n使得3n+1是一个完全平方数,证明:n+1是三个完全平方数之和.  证(1)因为2n+1

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