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1、数学解题方法漫谈、综合法与分析法综合法与分析法是数学证明题中经常用到的两种方法.由己知条件入手，根据已知的定义、定理、公理、公式逐步推导出需要求证的结论来，这种思维方法叫综合法.综合法是由原因导出结果即“由因导果”的思维方法.例1.如果三角形三个内角A，B，C满足条件sin2A+sin2B=5sin2C,求证：sinC^.证明：由正弦定理得：sinA=，sinB=,sinC=（其中R是AABC外接圆半径，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的三条边），将其代入己知等式sin2A+sin2B=5sin2C
2、得，a2+b2=5c2,再由余弦定理:c2=a2+b2-2ab?cosC得，2ab?cosc=4c2，所以，cosC=另一方面，因为2ab$a2+b2=5c2，所以，cosC=^=,从而，l-cos2C彡，即sin2C彡，
3、sinC
4、^；又因为C为△ABC的内角，所以sinC>0，故得sinC彡.这个题的证明方法，用的就是综合法，从已知条件入手，结合相关定理得出最后的结论.例2.已知a是不小于4的数，求证：证明：要使成立，因为a是不小于4的数，即a_l>a_2>3-3>3_4^-0,,故只须不等式成立，即
5、>2+成立，只须：（）2>（2+）2，即2a-7>2成立，只须（2a-7）2>（2）2即1>0即可，而1>0,显然成立，注意到以上各步骤均可逆（每一步都是前一步的充分条件），因此原不等式成立.这个题的证明方法就是分析法.在假定结论成立的条件下，逐步推导出1>0这样一个真命题，而且以上推导过程可逆.正是因为过程可逆，才保证了在1〉0及a是不小于4的数的条件下可以推证出不等式成立的结果.如果我们在用分析法推导的过程中，过程不可逆那么，分析法是失效的.比如，由3>13,c>d可以推Wa+ob+d,反之则不然，这
6、个过程就不是可逆的。二、反证法与同一法：反证法是一种间接证明命题的方法，它是通过证明反命题为假（即先否定结论，通过结论的否定，推出与已知条件或定理、公理、公式相矛盾的结果），从而间接证明了原命题的正确性.例3.如图1所示，已知平面、交于直线a，直线b在内与直线a相交于A点，直线c在内与直线a平行.求证：b、c为异面直线.证明：假设b、c不是异面直线，则或者b//c，或者b、c相交于一点.如果b//c，则因为a//c，所以b//a，这与已知条件“直线b在内与直线a相交于A点”相矛盾；如果blc=P（b、c相
7、交于一点），则因为c，b，所以PE，且pe，从而pea=l，故直线a、c相交于P点，这又与己知条件“直线c在内与直线a平行”相矛盾.以上矛盾说明b、c必为异面直线.这个题的证明方法就是反证法.反证法的关键是通过否定结论，推出矛盾，从而达到间接证明命题为真的效果的。例4.试证明三角形的三条中线相交于一点.已知：在AABC中，AD,BE,CF是它的三条中线（如图2所示），求证：AD，BE，CF三线共点证明：设AABC中，BC、AC边的中线AD，BE相交于一点G，连结CG并延长与AB相交于RL点，因为DE是AA
8、BC的中位线，从而DE//AB，设DE与CF1相交于M点，于是有==，艮p=;(1)==，艮P=;(2)由(1)式和(2)式得：=，所以AF1=BF1，CF1是AB边的中线；因为AB边的中线只有一条，所以CF1和CF是同一条中线，故三角形的三条中线相交于一点，证毕。该题的证明方法就是同一法。三、归纳法与合情推理归纳法是从特殊到一般的一种推理方法，它有别于演绎法(一种由一般到特殊的推理方法)，是合情推理的一种方法.它又分为不完全归纳法，和完全归纳法，其中数学归纳法是一种最常用的方法.例5.试写出数列：，，，
9、，，八八的一个通项公式.解:观察这个数列的前5项，发现分母逐渐增大，且是连续的自然数，而分子始终围绕在分母的前后进行变化，尝试着将各项拆分发现有以下规律：al==l-=i+(-1)1a2==l+=l+(-1)2，a3==l-=l+(-1)3，a4==l+=l+(-1)4，a5==l-=l+(-1)5八八，故猜想这个数列的第n项an=l+(-1)n，显然经过脸证，前5项均满足这个公式.由于这个数列只给出了前5项，且经过验证，都符合这个通项公式.即便没有对数列的每一项都做出分解分析(也不可能全部进行分析)，只
10、是分析了前5项反映出来的规律，我们仍然认为这个结论是合理的.这个结论就是运用不完全归纳法得出来的.例6.已知al=p,an=pan-l,bl=q，bn=qan-l+rbn-l(n>2)，其中p：q，r均为非零常数，且p类r，求数列｛bn｝的通项公式.解：因为an=pan-l,p关0,所以=p，｛an｝是个等比数列，an=pn又因为bl=q，bn=qan-l+rbn-l得：b2=qal+rbl=qp+rq=q(p+r),b3=q
