习题解答 - 第三章 连续随机变量及其分布

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1、第三章连续型随机变量及其分布习题3.1（p.86）1、设随机变量ξ的分布律如下表所示，ξ=x0127/2iP{ξ=x}1/31/81/63/8i试求ξ的分布函数，并利用分布函数求P{0≤ξ≤2}。⎧0x<0⎪10≤x<1⎪3⎪11⎪1≤x<3解：F()x=⎨24⎪573≤x<⎪82⎪7⎪1x≥⎩2−1111P{}0≤ξ≤2=P{ξ=0}+P{}0<ξ≤2=F(2)−F(0)+F(0)−F(0)=−0=24242、函数sinx在下列范围内取值⑴[],0π2/；⑵[,0π]；⑶[]3,0π2/；它是否可作为一个连续型随

2、机变量的密度函数？解：作为连续型随机变量的密度函数，f(x)在定义范围内满足+∞①f()x≥0；②∫f()xdx=1−∞π2⑴∫sinxdx=1且当x∈[],0π2/时，sinx≥0，故可作为连续型随机变量的密度函数；0ππ⑵∫sinxdx=−cosx0=2≠1，故不可以作为连续型随机变量的密度函数；03π23π⑶∫sinxdx=−cosx2=1，但当x∈[π3,π2/]时，sinx<0，故不可以作为连续型00随机变量的密度函数。13、要使下列函数成为密度函数，问式中的参数a,b,c应满足什么条件（l,l是已知数）

3、？12⎧b(x−c)>aexc⑴f()x=⎨；⎩0其它+∞+∞b()x−c1b()x−c+∞ab()+∞−ca解：1=∫f()xdx=∫aedx=a⋅e=e−bcbbcca∴b<,0−=,1c任意。b⎧ax−bl≤x≤l12⑵g()x=⎨⎩0其它+∞l2解：1=∫g()xdx=∫ax−bdx−∞l1l22l2()x−b22①b

4、=a⋅⎢−+⎥⎢lb⎥⎢22⎥⎣1⎦⎣l1b⎦22∴a[(l2−b)()+l1−b]=2l22l2()b−x22③b≥l2，1=∫a()b−xdx=a⋅()−1，∴a[(b−l1)()−b−l2]=22l1l14、设连续型随机变量ξ的分布函数为⎧,0x<0⎪3F()x=⎨Ax,0≤x<1⎪,1x≥1⎩⑴求常数A；⑵求ξ的密度函数；⑶求P{ξ>5.0}，P{3.0≤ξ≤1}，P{}ξ>34。−+解：⑴F()x连续，A=F(1)=F(1)=1，∴A=12⎧3x0≤x<1⑵f()x=F′()x=⎨⎩0其它111232⑶P

5、{}ξ>5.0＝∫3xdx=x=.0875P{}3.0≤ξ≤1=∫3xdx=.09735.00.53.021237P{}ξ>34=P{}ξ>34+P{}ξ<−34=∫3xdx=36445、设随机变量ξ的密度函数为⎧,0x≤0⎪f()x=2⎨−x⎪⎩Kxe4,x>0⑴求未知常数K；⑵求P{}−1≤ξ≤1。222+∞+∞+∞x+∞x2x−−⎛x⎞−解：⑴1=∫f()xdx=∫Kxe4dx=−2K∫e4d⎜−⎟=−2K⋅e4=2K⎜⎟−∞00⎝4⎠01∴K=22211xx1x−−−⑵P{}−1≤ξ≤1=∫e4dx=−e4

6、=1−e42006、设随机变量ξ的密度函数为⎧1ππ⎧1+x,−1≤x<0⎪cosx,−≤x≤⎪⑴f()x=⎨222⑵f()x=⎨1−x,0≤x≤1⎪⎩,0其它⎪⎩,0其它求ξ的分布函数F()x，并画出f(x)和F(x)的图形。x解：F()x=∫f()tdt−∞xπ⑴x<−，F()x=∫d0t=02−∞xππ11x1−≤x<，F()x=∫costdt=sint−π=()sinx+122π2222−2π2ππ11x≥，F()x=costdt=sint2=1∫π222−π2−23⎧π0x<−⎪2⎪⎪1ππ∴F()x=⎨

7、()sinx+1−≤x<⎪222π⎪1x≥⎪⎩2x⑵x<−1，F()x=∫d0t=0−∞x−1x2x1−1≤x<0，F()x=∫f()tdt=∫d0t+∫(1+t)dt=+x+22−∞−∞−1x−10x2x10≤x<1，F()x=∫f()tdt=∫0dt+∫(1+t)dt+∫(1−t)dt=−+x+22−∞−∞−10x−101xx≥1，F()x=∫f()tdt=∫0dt+∫(1+t)dt+∫(1−t)dt+∫0dt=1−∞−∞−101⎧0x<−12⎪x1⎪+x+−1≤x<0⎪22∴F()x=⎨2x1⎪−+x+0≤x

8、<1⎪22⎪⎩1x≥17、设随机变量ξ的密度函数为⎧x,0≤x<1⎪f()x=⎨2−x,1≤x≤2⎪⎩,0其它⎧13⎫⎧13⎫⎧1⎫求P⎨<ξ<⎬，P⎨≤ξ≤⎬，P⎨ξ≥⎬。⎩24⎭⎩22⎭⎩2⎭33134x245⎧⎫解：⑴P⎨<ξ<⎬=∫xdx==⎩24⎭121322233122122⎧13⎫x⎛x⎞3⑵P⎨≤ξ≤⎬=∫xdx+∫()2-xdx=+⎜⎜2x