高中数学竞赛辅导之——梅涅劳斯定理.doc

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1、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于，则证明1：设分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：。证明2：作CN∥BA，交XY于N，N则=，=．S1S2S3S4于是··=···=1．证明3：如图，连AX，BY，记SDAYB=S1，SDBYC=S2，SDCYX=S3，SDXYA=S4．则=；=；=，三式相乘即得证．注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于E．求证：=．证明由Menelaus定理得··=1，从而=．2．若直角中，C

2、K是斜边上的高，CE是的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：。【解析】因为在中，作的平分线BH，则：，，即，所以为等腰三角形，作BC上的高EP，则：，对于和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：，于是，即，根据分比定理有：，所以，所以。3．从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和，试证：。【解析】若，结论显然成立；若AD与相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，，，，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理2设P、Q、R分别是的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三

3、点中，位于边上的点的个数为0或2，这时若，求证P、Q、R三点共线。证明：设直线PQ与直线AB交于，于是由定理1得：，又因为，则，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于边上的点的个数也为0或2，因此R与或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与同在AB线段上，则R与必定重合，不然的话，设，这时，即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当R与同在AB的延长线上时，R与也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；CBA4．点P位于的外接圆上；是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂

4、足，证明点共线。【解析】易得：，，，将上面三个式子相乘，且因为，，，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线。5．设不等腰的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。【解析】被直线XFE所截，由定理1可得：，又因为，代入上式可得，同理可得，，将上面的式子相乘可得：，又因为X、Y、Z丢不在的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。6．已知直线，，相交于O，直线AB和的交点为，直线BC和的交点为，直线AC和的交点为，试证三点共线。【解析】设分别是直线BC和，AC和

5、，AB和的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（），OBC和（），OAC和（，）应用梅涅劳斯定理有：，，，将上面的三个式子相乘，可得：，由梅涅劳斯定理可知共线。7．在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线。【解析】记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，，，，，则有，，，，，将上面五个式子相乘可得：，点L、M、N共线。8．ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为

6、CD上的一点．AF交ED于G，EC交FB于H．连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M．求证：DL=BM.证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I．在△ECD与△FAB中分别使用Menelaus定理，得，.因为AB∥CD，所以，.从而，即，故CI=AJ.而，且BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以BM=DL．9．(评委会，土耳其，1995)设DABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于D、E、F，X是DABC内的一点，DXBC的内切圆也在点D处与BC相切，并与CX、XB分别切于点Y、Z，证明，EFZY

7、是圆内接四边形．证明：延长FE、BC交于Q．··=1，··=1，Þ·=·．第7题图由Menelaus定理，有··=1．于是得··=1．即Z、Y、Q三点共线．但由切割线定理知，QE·QF=QD2=QY·QZ．故由圆幂定理的逆定理知E、F、Z、Y四点共圆．即EFZY是圆内接四边形．10．证明：设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2ÛPQ⊥AB．证明先证PA2-PB2=QA2-QB2ÞPQ⊥AB．作PH⊥AB于H，则PA2-PB2=(PH2+AH2)-(PH2+BH2)=AH2－BH2=(AH+BH)(AH-BH)

8、=AB(AB-2BH)．同理，作QH’⊥AB于H’，则QA2-QB2=AB(AB-2AH’)∴H=H’，即点H与点H’重合．PQ⊥ABÞPA2-PB2=QA2-QB2显然成立．说明本题在证明两线垂直时具有强大的作用．11．以O为圆心的圆通过⊿ABC