数学竞赛—梅涅劳斯定理精选例题(一)

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1、【第一课时】精选例题例题1在△ABC中，AG是角平分线，D是BC中点，DG⊥AG交AB于E，交AC延长线与F，求证：BE=CF=．例题2△ABC中，∠A的外角平分线交BC延长线于点D，∠B、∠C的平分线交对边于E、F，求证：D、E、F三点共线．例题3梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点E，BC、AD的延长线交于点F,EF分别交AB、CD于N、M,求证：AN=NB．例题4过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB于点D。求证：．例题5已知点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，且，又AD、BE、CF交成△LMN

2、，求的值．例题6证明：笛沙格（Desargues）定理：直线AA1、BB1、CC1相交于O点，直线AB与A1B1交于X，BC与B1C1交于Y，AC与A1C1交于Z，那么X、Y、Z三点共线．例题7证明：莱莫恩（Lemoine）定理：过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线．直线PQR称为△ABC的莱莫恩线．例题8如图，⊙O1、⊙O2和⊙O3两两的外公切线分别交于P、Q、R三点，R求证：P、Q、R三点共线．课后练习1．△ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R,满足AQ:Q

3、B=2:1,AR:RC=1:2,连接QR交CB延长线于P，那么PC:PB=_______．2．ABCD为平行四边形，BC=12,DC=10,对角线AC与BD交于O,E是BC延长线上一点，且CE=4,OE交DC于F，那么CF=_______．3．在△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD:DC=m:1，CE:EA=n:1，AD与BE交于F，则△ABF与△ABC的面积之比为_______．4．已知：AJ、BK、CL是△ABC的三个外角平分线，J、K、L是这些线与△ABC三边所在直线的交点，求证：J、K、L三点共线．5．△ABC三边BC、A

4、B、CA的中点分别是D、E、F，设AD与EF交于P，连接CP交AB于Q，求证：AB=3AQ．6．用梅涅劳斯定理证明：赛瓦（Ceva）定理：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则．7．用梅涅劳斯定理证明：西姆松（Simson）定理：若从△ABC的外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．（此线常称为西姆松线）8．用梅涅劳斯定理证明：帕斯卡（Pascal）定理：圆内接六边形ABCDEF的三双对边的延长线交于三点P、Q、R，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）