梅涅劳斯定理.doc

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1、共线点三点共线的意思：三点在同一条直线上。证明方法：方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式。代入第三点坐标看是否满足该解析式　　方法二：设三点为。利用向量证明：a倍=（其中a为非零实数）。　　方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。　　方法四:证三次两点一线(误，两点必然共线)。　　方法五:用梅涅劳斯定理。　　方法六：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。　　方法七：运用公（定）理“过

2、直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法。　　方法八：证明其夹角为180°　　方法九：设，证明面积为0。例1．证明：三角形外接圆上任一点在三边（或所在直线）上的射影共线。证明：如图1-1,外接圆上一点到的射影分别为。证明：∴及四点共圆∴又∵∴易知点三点共线。（此三点所在直线称西莫松simson线）图1-1例2.证明：三角形一顶点在其他两角内外平分线上的射影是共线的四点。如图1-2，假设在中，和是的内外角平分线，其中和表示顶点在它们上的射影，和是的内外角平分线，其中和表示顶点在它们上的

3、射影，求证：四点共线。证明：连直线和，以表示的中点，易见四边形为矩形，所以，一方面通过的中点，另一方面又有∴∥即直线与重合。同理，直线也与重合，故四点都在直线上，共线。图1-2练习题1．证明：梯形上下底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点共线。证明：如图1-3，梯形,点为两腰与的交点，为对角线与的交点。连结分别交于于。先过点作∥且与、相交于。易知∴故同理：图1-3则分别是与的中点，故共线。练习题2.如图1-4，分别以德两边、为边向外作正方形,再以为斜边向的同侧做等腰,求证：三点共线。证明：分别过点向作垂线

4、，垂足分别为要证明共线，只需证,再过易知∴图1-4练习题3.如图1-5，圆内接为不等边三角形，过点分别作圆的切线依次交直线于，求证:三点共线。证明：，易知又易证∽,则，同理同理，故，图1-5由梅涅劳斯定理的逆定理，知三点共线。练习题4.如图1-6，以锐角的一边为直径作圆，过点作圆的两条切线，切点为，点是的垂心.求证：三点共线。证明：射线交于，显然为高。记与的交点为，易知三点共线。连接，易知，∴五点共圆，更有四点共圆，此时,∵（四点共圆），图1-6即；又，所以∽，故同理，。因为，所以三点共线。练习题5.如图1-

5、7，延长凸四边形的边交于点，延长边交于点，又分别是的中点，求证：三点共线。证明：设的中点为，辅助线如图所示，由可知，点必在内，此时，图1-7同理,。因此。此时，直线平分，即三点共线。梅涅劳斯（Menelaus）定理梅涅劳斯（Menelaus）（简称梅氏定理）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。数学意义：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是赛瓦定理。

6、一，梅涅劳斯定理：设的三边（或所在直线）被一直线分别截于点，则。证明：（证法一）如图2-1过点作直线与截线平行，交直线于，则在中，有①在中,有②①×②得:故得证。（证法二）如图2-2图2-1即：⑴整理⑴式可得：图2-2得证。（证法三）如图2-3作,,,垂足分别为，则有∽,∽,∽得证。图2-3二，逆定理：设在三边（或所在直线）上各取一点满足关系，则此三点共线。证明：（同一法）如图2-4图2-4连接交于，由梅涅劳斯定理知：又由于在同一直线上的三点中，位于边上的点的个数为0或2，所以和或者同在线段上，或者同在的延长

7、线上；若和或者同在线段上，则和必定重合，不然的话,设,这时，于是可得：，与矛盾。类似地可证当和同在延长线上时,和也重合。综上所述：三点共线。例1.设四边形两双对边相交于，如图2-5，证明的中点共线。证明：设分别是的中点，在△ABE中，取及的中点，易知：直线∥且通过直线∥且通过直线∥且通过又,,而三点共线，可知图2-5由梅涅劳斯定理知三点共线。例2．证明：三角形外接圆上任一点在三边（或所在直线）上的射影共线。证明：如图2-6,外接圆上一点到的射影分别为。证法一（梅涅劳斯定理）：连结①②图2-6③∵∴将①×②×③

8、得：由梅涅劳斯定理可知三点共线。练习题1.如图2-7，在一条直线上取点，在另一条直线上取点，记直线和,和，和的交点依次为，证明：点共线。证明：记直线和，和，和的交点，对，线段、、、、分别与三边或其所在直线交于三点，由梅涅劳斯定理有：,图2-7,,。将上面五个式子相乘可得：,由梅涅劳斯逆定理知：点共线。练习题2.如图2-8，从引四条直线，另外两条直线分别交这四条直线于和，试证：证明：1)若∥，结论显然