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1、梅涅劳斯定理梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与AABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1O或：设X、Y、Z分别在AABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)二1。展开定理的证明证明：当直线交AABC的AB.BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在ZiABC的BC、CA、AB所在
2、直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG〃BC交DF的延长线于G,则AF/FB二AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=(AG/BD)X(BD/DC)X(DC/AG)=1证明二过点C作CP〃DF交AB于P,则BD/DC二FB/PF,CE/EA二PF/AF所以有AF/FBXBD/DCXCE/EA=AF/FBXFB/PFXPF/AF二1证明三连结BFo(AD：DB)•(BE：EC)•(CF:FA)二(SAADF：SABDF)•(S
3、ABEF：SACEF)•(SABCF：SABAF)=(SAADF：SABDF)•(SABDF：SACDF)•(SACDF：SAADF)=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AABB，,CC，有AD：DB二AA':BB'另外两个类似，三式相乘得1得证。如百科名片中图。充分性证明：AABC中，BC,CA,AB上的分点分别为D,E,F。连接DF交CA于E',则由充分性可得，(AF/FB)X(BD/DC)X(CE'/E'A)=1乂・.・(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1・••有CE/EA二CE'/E'A,两点重合。所以DEF共线推论在AABC的三边BC、CA
4、、AB或其延长线上分别取1八M、N三点，又分比是入二BL/LC、□二CM/MA、v二AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是XPv=-lo(注意与塞瓦定理相区分，那里是Xpv=l)此外，用⑴该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E,F,D三点共线，则(sinZACF/sinZFCB)(sinZBAD/sinZDAC)(sinZCBE/sinZABE)=l即图屮的蓝角正弦值Z积等于红角正弦值Z积该形式的梅涅劳斯定理也很实用证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任
5、取-点0,且EDF共线，则(sinZAOF/sinZFOB)(sinZBOD/sinZDOC)(sinZCOE/sinZAOE)=1o(0不与点A、B、C重合)梅涅劳斯球面三角形定理在球面三角形ABC中，三边弧AB,弧BC,弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么(sin弧AP/sin弧PB)X(sin弧BQ/sin弧QC)X(sin弧CR/sin弧RA)=1[2]记忆ABC为三个顶点，DEF为三个分点(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)二1空间感好的人可以这么记：(±1/下1)
6、*(整/右)*(下2/±2)二1或者按比值画实心与空心圆。另外，有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐，不看书根本记不住，下面从别人转来一些方法帮助书写为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母
7、所代表的景占后，最终还要冋到岀发占A。耳外还有二个要求，就是侖'一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：方案①一一从A经过B（不停留）到F（停留），再返冋B（停留），再到D（停留），Z后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。按照这个方案，可以写出关系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）二1。现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。从A点出发的旅游方案还有：方案②一一可以简记为：A->B->F->D->E->C->A,由此可写
