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1、梅涅劳斯定理梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》(Sphaerica)。任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等儿何或通过应用简单的三角关系来证明.梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。中文名梅涅劳斯定理提出时间1678年外文名Menelaus应用学科数学，物理别称梅氏定理适用领域范围平而儿何学表达式(AF/FB)x(BD/DC)x(CE/EA)=1适用领域范围射影儿何学提出者梅涅劳斯定理内容首先给出完整的定理内容:当直线交AABC三边所在直
2、线BC,ACfAB于点DtEF时,AFBDCEXXFBDCEA定理证明证明一过点A作AG〃DF交BC的延长线于点G.则AFGDCECDAFBDCEGDBDCD——•vX/—vvFB~DBrEA~DGr"FBDCEA~DBDCDG证明二过点C作CP〃DF交AB于P,贝1」BD_BFCE_PFDC=FPF=FA*两式相乘得AFBDCE_AFBFPFFB^DC^EA=FB^FP^FA证明三连结CF、AD,根据“两个三角形等高时面积Z比等于底边Z比”的性质有。AF：FB=Saadf：Sabdf(1)・BD：DC=Sabdf：Sacdf(2),CE：EA=SaCDE：SaAD
3、E=SaFECISaFEA=(SaCDE+SaFEC):(SaADE+SaFEA)=SaCDF：SaADF(3)(1)X(2)X(3)得AFBDCE_S“dfS^bdfSacdfXX—X1XFBDCEAS^DF^acdf^sadf证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA<,BBCC‘，如图：充分性证明：△ABC中，BC,CA,AB±的分点分别为D,E,F。连接DF交CA于巳则由充分性可得，(AF/FB)x(BD/DC)x(CE7E,A)=1AFBDCE、又•.•FBXDCXEA=过的三个顶点作直线FD的垂线，则有EAFAAfBDBB‘CECCf・••有CE/EA=CE
4、7E'A,两点重合。所以D・E・F共线BF~BB,7DC~CCf'EA~AAf三式相乘得AFBDCEAAfBBfCC‘XX=XX=1BFDCEABBfCC9AA9推论在aABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是入二BL/LC、p二CM/MA、v二AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是入pv=-1o(注意与塞瓦定理相区分，那里是Apv=1)此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E,F,D三点共线，则(sinZACF/sinZFCB)(sinZBAD/sinZDAC)(sinZCBE/sin
5、ZABE)=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。该形式的梅涅劳斯定理也很实用。证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点0,且EDF共线，贝ij(sinZA0F/sinZF0B)(sinZB0D/sinZD0C)(sinZC0E/sinZA0E)=1o(0不与点A、B、C重合)梅涅劳斯球面三角形定理在球而三角形ABC屮，三边弧AB,弧BC,弧CA(都是大圆弧)被另一人圆弧截于P,Q,R三点，那么数学意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形屮线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三
6、线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射彫几何学屮的一项基本定理,具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FBxBD/DCxCE/EA=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯逆定理定理若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FBxBD/DCxCE/EA=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。注意定理中提到的三个点的位置，在梅涅劳斯逆定理中，三个点要么只有两个在三角形边上，要么一
7、个都不在三角形边上。即：该逆定理成立的前提是三个点有偶数个点在三角形边上。否则为塞瓦泄理逆泄理。证明方式已知：E、F是ZkABC的边AB、AC±的点，D是BC的延长线的点，且有：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。求证：E、F、D三点共线。思路：釆用反证法。先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。再证P与F重合。证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。市梅涅劳斯定理的定理证明(如利用平行线分线段成比例的证明方法)得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。・Z(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1O・・・AP
