梅涅劳斯定理教程文件.doc

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1、梅涅劳斯定理__________________________________________________梅涅劳斯定理【定理内容】如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么.[评]等价叙述：的三边、、或其延长线上有三点、、，则、、三点共线的充要条件是。三点所在直线称为三角形的梅氏线。【背景简介】梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。【证法欣赏】证法1：（平行线分线段成比例）________________________________________________________________________________

2、____________________证：如图，过作交延长线于，∵，∴，，又则∴证法2：（正弦定理）证：如图，令，，，在中，由正弦定理知：，同理，∴，，，∴，即.【逆定理】____________________________________________________________________________________________________梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点、、分别在的三边、、或其延长线上，且满足，那么、、三点共线。[注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线【定理应用】梅涅劳斯定理的应用定理1：若的的外角平分线交边延长

3、线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、、三点共线。证：由三角形内、外角平分线定理知，，，，则，故、、三点共线。____________________________________________________________________________________________________【定理应用】梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线，分别和、、的延长线交于点、、，则、、三点共线。证：∵是⊙的切线，∴∽，∴，则，同理：，∴，故、、三点共线。【定理应用】【例1】已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.求证：.证明：直线

4、截，由梅涅劳斯定理，____________________________________________________________________________________________________得：又，∴，则[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》．【定理应用】【例2】已知：过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证：.证：连接并延长交于，则，∵截，∴由梅氏定理得，；同理：∴，，∴即__________________________________________________