相似三角形性质与运用.doc

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1、一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△A

2、BC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：=在△DBE和△ABC中∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。分析：

3、本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=，在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例

4、且夹角相等的两个三角形相似）二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC，∴DFAC=BCFE例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）证明：（1）∵∠BAC=900，M

5、是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴命题1如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命题2如图，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作

6、？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。与结论相比较，显然问题转化为证。证明：过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）（1）∵D为BC的中点，且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线，（2）将（2）代入（1）得：三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：∠AEF=∠FBD证明：作FG

7、⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：SQ∥AB，RP∥BC分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB，只需证明AR：AS=BR：D

8、S。证明：在△ADS和△ARB中。∵∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，则，∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC例3、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD分析