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1、第二十五章图形的相似学习新知检测反馈25.5相似三角形的性质（1）九年级数学上新课标[冀教]学习新知小华做小孔成像实验,如下图,已知蜡烛与成像板间的距离为l,当蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时,蜡烛焰AB是像A'B'的一半长?相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比.如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别是BC和B'C'上的高,那么AD与A'D'的比与相似比之间有怎样的关系?【思考】(1)图中的△ABD和△A'B'D'相似吗?如何证明?(2)由相似三角形的性质,你能得到AD与A'D
2、'的比与相似比之间的关系吗?相似三角形对应高的比等于相似比.已知:如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高.求证:证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.又∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C',∴∠ADB=∠A'D'B'=90°,∴△ADB∽△A'D'B'.∴追加提问(1)能去掉性质中的对应两个字吗?(2)如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k.AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,AF与A'F'分别为∠BAC和∠B'A'C'的平分线.猜想:AE和A'E
3、'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系?(3)类比上述证明方法,你能证明上述结论吗?(4)怎样用语言描述上述结论?相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.1.已知:如上图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AE,A'E'分别为BC,B'C'边上的中线.求证:.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',.又∵AE与A'E'分别为BC,B'C'边上的中线,∴BE=BC,B'E'=B'C',∴∴△ABE∽△A'B'E'.∴2.已知:如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AF,A'
4、F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线.求证:证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.又∵AF,A'F'分别为∠BAC,∠B'A'C'的平分线,∴∠BAF=∠BAC,∠B'A'F'=∠B'A'C',∴∠BAF=∠B'A'F',∴△ABF∽△A'B'F'.∴检测反馈例1如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,,AD=15.求AG的长.思考:(1)由EF∥BC可以得到哪两个三角形相似?(2)相似三角形的相似比是多少?(3)AG与AD是
5、不是相似三角形的对应线段?(4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长?解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.∵AD⊥BC,∴AD⊥EF.∴.又∵，AD=15，∴∴AG=9.【知识拓展】相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段长的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等.检测反馈1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4,那么它们的对应中线之比是()A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶16解析:根据相似三角形的对应中线之比等于相似比,而相似比为相似三角形对应边的比,得对应中线之比等于1∶4.故选B.B解析:由已知可得
6、两个相似三角形的相似比为8∶5,根据相似三角形的对应高的比、对应中线的比等于相似比可得它们的对应高的比是8∶5,对应中线的比是8∶5.答案:8∶58∶52.两个相似三角形的最长边分别为8cm和5cm,它们的对应高的比是,对应中线的比是.8∶58∶53.任意连接三角形三边中点,所构成的三角形与原三角形对应边上的高的比是.解析:由三角形的中位线定理可得所构成的三角形三边与原三角形三边的比为1∶2,根据三边对应成比例的两个三角形相似可得这两个三角形相似,且相似比为1∶2,由相似三角形对应高的比等于相似比可得对应边上的高的比是1∶2
7、.故填1∶2.1∶2
