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1、一、平面向量数量积的有关概念1.两个非零向量的夹角已知非零向量与，作＝，＝，则∠AOB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记作⊥；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，范围为0°≤q≤180°.2.数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·＝︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）.规定；向量的投影：︱︱cos＝∈R，称为向量在方向上的投影.投影的绝对值称为射影.二、平面向量数量积的几何意义及其性质、运算律1.几何意义：·
2、等于的长度与在方向上的投影的乘积.2.性质：（1）.（2）（3）（4）（5）⊥·＝0注：乘法公式成立；；3.运算律（1）交换律成立：；（2）对实数的结合律成立：；（3）分配律成立：.（4）向量的夹角：cos＝＝.注：平面向量数量积的运算不满足结合律.当且仅当两个非零向量与同方向时，θ＝0°，当且仅当与反方向时，θ＝，同时与其他任何非零向量之间不涉及夹角这一问题.三、两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·＝.（1）垂直：如果与的夹角为90°，则称与垂直，记作⊥.两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝0，（2）平面内两点间
3、的距离公式设，则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）.题型一数量积的概念【例1】判断下列各命题正确与否：(1)若,·＝·，则＝;(2)若·＝·,则≠当且仅当＝时成立；(3)·＝0；(4)(·)＝(·)对任意向量,,都成立；(5)对任一向量,有2＝
4、
5、2(6)·＝.【变式练习】1．若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )A.B.C.D.2．设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①;②
6、
7、－
8、
9、<
10、－
11、;③(·)－(·)不与垂直;④(3＋2)(3－2)＝
12、9
13、
14、2－4
15、
16、2中,是真命题的有( )A．①② B．②③ C．③④ D．②④3.已知下列各式：①
17、
18、2＝2，②③()2＝2·2，④(－)2＝2－2·＋2.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个题型二向量的模与数量积【例2】(1)已知、满足
19、＋
20、＝
21、－
22、，
23、
24、＝
25、
26、＝1，求
27、3－2
28、.(2)若
29、
30、＝13，
31、
32、＝19，
33、＋
34、＝24，则
35、－
36、的值为________．变式题1、已知（1）求与的夹角（2）求和（3）若作三角形ABC，求的面积。变式题2、已知a、b是非零向量，若a+b与7a-5b垂直，a-4b
37、与7a-2b垂直，试求a与b的夹角。变式题3.已知a=() ，b=()且θ∈.(1)求的最值。(2)是否存在k的值，使题型三夹角问题【例3】设＝(cosα，sinα),＝(cosβ，sinβ),且与具有关系
38、k＋
39、＝
40、－k
41、(k＞0)．(1)与能垂直吗？(2)若与的夹角为60°，求k的值．【变式练习1】已知
42、
43、＝4，
44、
45、＝3，(2－3)·(2＋)＝61求：(1)与的夹角θ；(2)
46、＋
47、和
48、－
49、；(3)若＝，＝，作三角形ABC，求△ABC的面积;(4)若＝(－1,2)，＝(3，x)，且，的夹角θ为钝角，求x的取值范围．【变
50、式练习2】.，且（1）与的夹角为钝角，则的取值范围为_________且（2））与的夹角为锐角，则的取值范围为_________（3）与的夹角为直角，则的取值为_________题型四向量的平行、垂直与数量积【例4】已知向量＝(1,2),＝(－2,1),k，t为正实数，向量＝＋(t2＋1),＝－k＋，(1)若⊥,求k的最小值;(2)是否存在k，t使∥？若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由．【巩固练习】1若平面四边形ABCD满足,则该四边形一定是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形2.设向量,,满足++
51、=，⊥，
52、
53、＝1，
54、
55、＝2，则
56、
57、2＝( )A.1B.2C．4D．53已知
58、
59、＝1，
60、
61、＝6，·(－)＝2，则向量与向量的夹角是( )4定义运算
62、⊗
63、＝
64、
65、
66、
67、sinθ,其中θ是向量,的夹角．若
68、
69、＝2，
70、
71、＝5，＝－6，则
72、⊗
73、＝5若向量＝(2,1)，＝(3，x)，若(2－)⊥，则x的值为6若非零向量,满足
74、
75、＝
76、
77、,(2＋)·＝0,则与的夹角为7.已知平面向量,,,则的值是________．8.设是夹角为60°的两个单位向量,且＝＋2,＝2＋,则
78、＋
79、=．9.已知向量
80、
81、＝10，
82、
83、＝8，与的夹角θ＝120°，则
84、向量在方向上的投影为()A．4B．－4C．5D．510.已知向量与的夹角为,则等于（）A.5 B.4 C.3 D.111．在△ABC中，若，且·＝·＝·,则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的＝(m,n),＝(p,q)
