大学概率统计教程第2章.ppt

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1、第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及分布函数§2.1.1随机变量观察以下随机试验的结果:例2.1掷一枚色子考察出现的点数,则试验结果与数之间的恒等映射为:例2.2某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命试验,记录灯泡的寿命,则样本点与数之间也有恒等映射注意:还有许多试验的结果本身不是实数随机变量的定义例2.4随机从某人群中抽样,观察抽得的人的性别,此时,则我们可以建立样本点与数之间的映射为:定义2.1设是一试验的样本空间,如果对于每一个样本点规定一个实数这样就定义了一个定义域为的实值函数称为随机变量随机变量与普通函数的区别(1)定义域是样本空间,样本空间不一定是实空间;(2)随机

2、变量的取值具有随机性;即试验之前,不知道样本空间中哪一个样本点出现,从而取何值不能确定,而试验之后,才确定取何值;(3)随机变量的取值具有一定的概率;例如在例2.1中利用随机变量表示事件有了随机变量的定义之后,我们可以用随机变量落入某个区域来表示随机事件.例如:用“”表示打色子的时候“出现奇数点”这一随机事件;用“”表示“打出的色子数等于1”这一随机事件。一般情况下,我们可以用表示随机变量取值在G中的样本点构成的事件,简记为§2.1.2随机变量的分布函数定义2.2设X是随机变量,对任意实数x,定义F(x)=P{Xx}称F(x)为随机变量X的分布函数。注(1)分布函数的本

3、质是一个概率,即事件{Xx}的概率P{Xx};(2)对任意实数a,b(a

4、数的性质1)若x1

5、依次从中不放回取一件产品,X表示取到正品时的抽取次数,求X的分布律,并求P(X>2)与分布函数.解:Xp1234P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=1/15例2.7由题意:例2.8例2.8(续)§2.2.2常见的离散型分布(1)几何分布定义2.4若随机变量X取值为1,2,…,且其中则称X服从参数为的几何分布,记为可见,若一个随机变量表示重复的伯努利试验中,首次成功出现在第X次,则(2)超几何分布定义2.5设N,n,m为正整数,若随机变量X的分布律为则称X服从超几何分布,记为古典概型中,不放回摸球试验,N个球,其中有m个红球,随机从N个球中取n个,取到红球的个数为X,

6、则(3)二项分布则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X~B(n,p)定义2.6设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,且特别地,当n=1时,二项分布X~B(1,p),即为(0-1)分布.例2.10二项分布的应用一同学参加英语期末考试,进入考场后才发现耳机没有电池,于是他在听力部分每题4个选择中随机选一个作为答案,求:(1)他在20个听力题中一个也没选对的概率;(2)他在20个听力题中至少选对12个的概率。例2.10(续)二项分布的最有可能次数若X~B(n,p),则可见,Pk是先是随着k的增大而增大,达到其最大值后再随着k的增大而减少.记二项分布的最可能次数为ko(4

7、)泊松(Poisson)分布则称X服从参数为的泊松分布,X~P().定义2.7若随机变量X可能的取值为0,1,2,…,且可证:二项分布以泊松分布为极限分布定理2.2(泊松定理)设随机变量且满足则证:二项分布以泊松分布为极限分布左=11得证.泊松分布查表计算例2.11(Poisson分布应用)例2.12某网吧有300台电脑,每台电脑的上网人因各种原因需要网管帮助的概率为0.01,现在有两种方式配备网管:A:配备10名网管,每人负责30台电脑;B:配备8名网管,共同负责300台电脑;(1)证明:方式B比方式A效果好;(2)若只

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