概率统计培训教程

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1、概率统计培训教程1第一节随机变量及其分布一、随机变量1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母x、y、z表示。2、分类：随机变量离散型随机变量连续型随机变量2[例1·2-1]⑴一天内进某超市的顾客数:Ω={0,1,2,······}⑵一顾客在超市购买的商品数:Ω={0,1,2,······}⑶一顾客在超市排队等候付款的时间:Ω={t:t≥0}⑷一颗麦穗上长着的麦粒个数:Ω={0,1,2,······}⑸新产品在未来市场的占有率:Ω={[0,1]}

2、⑹一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间:Ω={t:t≥0}bD⑺加工机构轴的直径尺寸:Ω={}a⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}3二、随机变量的分布随机变量的取值是随机的，但其内在还是有规律性的，这个规律可以用分布来描述。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布。分布包含如下两方面的内容：1）X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。2）X取这些值的概率各是多少，或X在任一小区间上取值的概率是多少？4（一）离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布可用分布列表示，或用一个简明的数学式子表示出来。图表法（分布列

3、）：公式法：P（X=x）=pi=1,2，···，nii要使其成为一个分布，应满足下列条件：1)p≥0,非负性i2）p+p+···+p=1正则性12n5（二）连续型随机变量连续型随机变量的分布可用概率密度函数p(x)表示，许多书上也用f(x)表示。连续型随机变量还可用概率分布函数F(x)表示。概率密度函数f(x)概率分布函数F(x)6〖第一章概率统计基础知识—第一节质量特性数据的统计规律二、频数（频率）直方图及累积频数（频率）直方图〗直方图：为研究数据变化规律而对数据进行加工整理的一种基本方法。[例1·1-2]：1）

4、计算R=x–xmaxmin2）决定分组数k及组距h3）确定组限：即每个区间的端点及组中值4）计算落在每组的数据的频数及频率5）作频数频率直方图—频率（概率）密度图6）作累积频数和累积频率直方图—概率分布函数图7★补充:分布密度的性质：①p（x）≥0非负性公理（它一定位于x轴的上方）②p(x)dx1正则性公理（与x轴所夹面积恰好为1）b③p(axb)ap(x)dx为区间(a,b)上的面积8★补充：分布函数的概念定义：设X为一个随机变量，x为任意实数，称函数F(x)=P(X≤x）为X的分布函数。即F

5、(x)=P（X≤x）＝P（－∞＜X≤x）注意：F(x)的累积性。在概率密度函数图上，F(x)是区间(－∞,x）上的面积。9★补充：分布函数的性质1）F（-∞）=0，F（∞）=10≤F（x）≤12）F（x）=p（x）的积分p（x）=F（x）的导数3）F（x）是非减函数，当x＜x时，F（x）≤F（x）121210三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量X的分布（概率函数或密度函数）有几个很重要的特征数，用来表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。两个最重要的特征数：1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：

6、表示分布的散布大小，Var(x)111、均值的计算公式E(x)xipiX是离散分布i2、方差的计算公式bE(x)axp(x)dxX是连续分布3、标准差的计算公式2Var(x)[xE(x)]piX是离散分布ib2Var(x)a[xE(x)]p(x)dxX是连续分布(X)Var(x)12[例16]有甲乙两人进行射击比赛，射中环数的分布分别是:甲：876乙：109876540.10.80.10.10.10.20.20.20.10.1试问二人的射击水平如何？解：1)计算二人的算术平均值E(x)=

7、7甲E(x)=7乙2)计算二者的方差Var(x)=0.2甲Var(x)=2.8乙13[例17]甲、乙、丙、丁四个厂生产同一种零件，采购员为了了解各厂零件强度的差异，以便选择订货工厂，现从市场各购买4只零件，测得强度，计算均值与标准差与标准差如下：工厂平均强度标准差甲1077.5乙1107.2丙919.3丁1107.71,采购员应购买（）厂的零件。A、甲B、乙C、丙D、丁14均值与方差的运算性质：（1）设X为随机变量，a与b为任意常数，则有：E(aX+b)=aE(X)+bVar(aX+b)=a2Var(X)（2）对任

8、意两个随机变量X与X，有：12E(X+X)=E(X)+E(X)1212（3）设随机变量X与X独立，则有：12Var(X±X)=Var(X)+Var(X)121215四、常用分布（一）常用离散型分布常用离散型随机变量的分布有：单点分布（退化分布）、两点分布（0-1分布）、几何分布、二项分布、泊松分布、超几何分布等，书上介绍了后三种。我们将补充介绍两点分布，一共