“无穷小”从“冰冷美丽”到“火热的思考”.pdf

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1、第3l卷第6期凯里学院学报V0I．31No．62013年l2月JournalofKailiUniversityDec．2013“无穷小"从“冰冷美丽’’到“火热的思考"郑雪静(泉州师范学院，福建泉州362000)摘要：在高等数学教学中，“无穷小”是一个重要而学生又较难理解的数学概念，教科书上展现的是其“冰冷美丽”的一面．本文通过让学生了解无穷小曲折的历史，追随历史的脚步、站在哲学的角度去准确地把握无穷小的概念，体会无穷小由有限向无限质的飞跃，看到无穷小的认识价值等四个层面，将“无穷小”那“火热的思考”的本质揭示出来，从而把数学的原始形

2、态、学术形态转化为教育形态．关键词：无穷小；教育形态；冰冷美丽；火热的思考论文编码：Doi：10．3969／j．issn．1673．9329．2013．06．为何越来越多的大学生不喜欢学习高等数学，数学教学的目标之一，就是要把数学知识的学术形为何学生普遍认为高等数学难学，为何现今大学生态转化为教育形态．学习高等数学大多只是为了应付考试，也许有一部本文拟就高等数学的重要概念——“无穷小”分原因跟教师的教学是有关系的．现行教科书上展为例，探究如何将教科书中那“冰冷美丽”背后“火现的是数学“冰冷美丽”的一面，却没能将数学那热的思考”揭示出来

3、，让学生感受到高等数学的学“火热的思考”呈现出来，教师的教学，往往就只是习不是那些冷冰冰的定义、公式、定理和计算，而是教授这种美丽而冰冷的数学．著名数学教育家H．蕴含着火热的思考，让学生在思考中理解数学、形弗赖登塔尔(H．Freudenthal，1908—1990)曾经有成数学素养，以提高学生学习高等数学的兴趣．这样一句名言：“没有一种数学的思想，以它被发1让学生了解无穷小概念曲折的历史现时的那个样子公开发表出来．一个问题被解决首先应该让学生比较全面了解无穷小概念的后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过历史发展过程，让学生明白数

4、学概念的产生不是凭程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的空想象的，让学生看到的不只是教科书那干巴巴的美丽．”⋯字眼，而是活生生的历史．以史为镜，让学生明白一张奠宙教授指出，一般把数学成果分为三种不个数学概念从产生、发展到成熟再到应用，都有它同的形态：第一种是数学家建构数学思想、发现数深刻的思辨过程．以此告慰学生，让他们明白自己学定理时的原始形态；第二种是公开发表的，写在对数学概念的理解也是一样的，也需要一个从了论文里、教科书上的学术形态；第三种是数学教师解、理解、掌握再到灵活应用的过程，只是这一认识在课堂教学中的教育形态．对于数学教师，

5、其主要过程有快慢之分，有方式方法的区别．责任是如何把数学的原始形态、学术形态转化为学1．1无穷小概念的产生生容易理解的教育形态，以揭示“冰冷美丽”背后无穷小(infinitesima1)是一个历史概念，它的“火热的思考”的数学本质j．我们再来看一下《学历史可以追溯到文艺复兴时期的不可分量(indi—记》中所云：道而弗牵，强而弗抑，开而弗达．“开而visible)，不可分量概念的产生可以从古希腊的原弗达”意思就是不直接把结论告诉学生，而是让学子论和阿基米德(Archimedes)解决一些问题的方生在思考、分析、探索中顺理成章地得出结论．

6、数学法中得到某种根源性的解释．17世纪意大利数学教学应以培养学生的数学思考和数学素养为核心．家卡瓦利列在其《不可分量几何》中将面和立体看收稿日期：2013-09—17基金项目：福建省教育科学“十二五”规划2013年度课题(项目编号FJJKCG3—158)作者简介：郑雪静(1978一)，女，福建泉州人，硕士，泉州师范学院讲师，主要从事数学教育研究成不可分量“流动”所生成，在他看来，不可分量就“这些消逝的量说什么呢?它们既不是有限，也不是无穷小．开普勒以后，不可分量逐渐被叫做无穷是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝小量．17世纪，

7、随着社会不断进步，面临解决诸如量的鬼魂吗?”历史上将这一运算过程中所存在的瞬时速度，曲线的切线及不规则图形的面积计算等逻辑矛盾称为“第二次数学危机”．问题，都与无穷小相关，于是无穷小量方法就成为然而，利用这种方法在解决实际问题时却非常力学和几何学的一个重要工具．有效，它确实反映了客观上存在的一类变量，并且不管是在古希腊还是在中国，无穷小思想最初有自己独立的运算法则，“新生事物往往不完备，都是在哲学范围内提出的．在中国2000多年前，人但却有强大的生命力”．微积分以其运用的广泛性们就已产生对数学无穷小的萌芽认识．《庄子·天和运算的完整性

8、证实了它的价值，但其运算过程中下篇》中有言“至大无外，谓之大一，至小无内，谓所存在的逻辑矛盾却无法回避，无穷小量在没有逻之小一”，大到没有外面，自然是无穷大，小到没有辑基础的条件下，在尴尬的境况下被灵活运用着．里面，当是