从“冰冷的美丽”到“火热的思考”——谈代数教学中的思想实验

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2、”到“火热的思考”——谈代数教学中的思想实验从“冰冷的美丽”到“火热的思考”——谈代数教学中的思想实验从“冰冷的美丽”到“火热的思考”——谈代数教学中的思想实验中国成人教育2008年@月从”冰冷的美丽”到”火热的思考”——谈代数教学中的思想实验.段素芬[摘要]代数知识一般具有高度的抽象性和逻辑性,对于抽象的代数概念和结论,若能采用象几何一样的直观进行领悟.应该是一种有效渠道.思想实验是有别于真实实验的一种理性思维活动.本文分析了思想实验的基本特点,同时阐述了思想实验在代数教学中的应用.[~fI-N]思想实验;代数教学;理性思维通常

3、认为,几何学有几何图形作为直观以及研究的基础.因而,发现和证明几何定理可以并需要依赖几何图形.几何教学以直观图形作为背景.至于代数运算,似乎只是一种人为的规定,是数学抽象的集中体现,既难以理解,也无须解释,更谈不上直观图形的辅助.其实,代数教学同样需要直观.教师在代数教学中的一项重要任务,就是引导学生对抽象的代数结构与运算法则构建直观的理解.而数学思想实验可以将抽象的代数问题归结为一些大家熟悉的,已经被普遍接受的某种思维模式,利用设置的代数思考的直观背景,使之更加便于分析和推理.一,思想实验思想实验就是在思想上进行的实验.它是人们

4、在思想中塑造和想像的一种实验过程,是根据研究目的,人为地创设,改变和控制某种数学情景,在有利的条件下经过思想活动,以研究某种数学现象和数学规律.思想实验作为一种科学研究方法,在自然科学发展中起着重要的作用.很多科学原理,科学发现,科学结论都与思想实验密切相关.早在自然科学的萌芽时期,阿基米德就在研究面积和体积时采用过”思想上的实验”,他想像把用均匀材料切成一定形状的平面物体通过称量以测量它的面积,然后再从数学上证明.数学上两例经典的思想实验是欧拉的哥尼斯堡七桥问题和古印度的移盘游戏.在中学数学教学中,常常需要依赖直觉.此外,函数的

5、图像,方程的求解等,也可以使用图像进行直观思考.但是大量的代数运算法则,数系的运算规律,排列组合,不等式的证明等,并没有直观的事物作为支撑.为了使学生能够理解这些代数知识,我们需要在教学中进行思想实验,需要将抽象的代数问题归结为一些熟悉的,易被接受的思维模式,设置代数思考的直观背景,使之更加方便理解和分析.例如,对组合公式=‘+.(m,n≥2)的证明,许多教材中都采用了组合数公式,严格按照公式带人推导得之.这种证法形式化方式强,符合数学中演绎推理的特征.这也就是发表于数学杂志或陈述在教科书上的”学术形态”.而教师们在教学中,更倾向

6、于采用便于学生理解和学习,适合在课堂上现的”教育形态”,即如下证明方法.组合公式c::c:+c(m>/2)可以理解为:在n个元素种同定一个元素o,那么从n个元素中取m个可分为两种情形.一定不取&,共有c种取法;一定取.,共有c种取法,加起来共个取法.这种证法具有可操作的想像,揭示了思想实验的过程,能够显示思维的实际过程,更适合于教和学,因此更接近于教育形态.教育形态需要借助思想实验为学生提供一种容易接受和理解的实际情景,以满足教育过程的需要.二,思想实验的特点在数学中,数学实验和一般的实验又有所不同.数学实验面对的往

7、往是数据,图形,方程之类的思想素材.思想实验简而言之就是在思想中进行的实验,显而易见,它首先具有思想性和实验性两个基本特征.1.思想性.这也是思想实验和普通实验的一个显着而本质的不同.正是由于思想性,也就赋予了思想实验本身的特殊性.即思想实验的设备,仪器和对象等,都是实验者主观设计的,实验过程是在实验者的思维中进行的.另外,思想实验的操作过程本身是一个逻辑推理过程,即逻辑推理是思想实验的理性保证,是其思想性的基础.例如,匈牙利一英国数学哲学家拉卡托斯详细考察了欧拉多面体定理:+E+2的最简洁的证明方法.即把～个单连通的多面体的某个

8、面”绷大”,把多面体的其它的面压缩到这个被绷大的面上.这样,不难知道平面图满足欧拉定理,再还原为多面体的欧拉定理.在这里,最为重要的,最本质的是“绷大”一个面,”压缩”其他面的想法.这样的”绷大一压缩”实际上仅仅是“头脑中的操作”,是一种典型的思想