sars传播的数学原理及预测与控制(1)

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第20滁笆7蝴工程数学学报Vol20No．72003年月JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDee2003文章编号：1005—3085(2003)07—0029—06SARS传播的数学原理及预测与控制邹宇庭，郑晓练，缪旭晖指导教师：谭忠(厦门大学，福建厦f-1361005)编者按：本文建立了SARS传播的具有负反馈的差分方程模型。用两个参数分别刻画疾病传播能力和对疾病采取有效控制措施的能力，并用标准差趋于稳定来判定数据拟合的合理性，是本文的突出优点。文章将这一方法用于北京，广州，山西

2、和香港，均获得较好效果。摘要：众所周知，SARS对中国社会带来了重大的影响。我们以北京地区4月到6月有关sARS的数据为参考资料，就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念，建立了SARS传播的负反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。该模型将传染率定义为时间的函数，以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标，利用matlab中的fminsearch函数模拟得到最优的模型参数。该模型可以较好的预测SARS的发展趋势，且可以就此趋势提出如何控制SARS传播的措施。继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5天实施隔离政策所引起

3、SARS发展趋势变化的曲线，分析了卫生部门实施隔离政策的日期对SARS发展趋势的影响。在SARS对经济影响的这个问题上．本文适当选取医疗业具有代表性的17支股票，构造了医疗板块指数，以此测度医疗业的经济表现。在传统的CAPM模型中，我们引入了虚拟变量，利用OLS技术进行估计分析，检验出SARS这一事件对医药业的经济影响是正影响。该影响反映在医疗版指数的日收益上．但这个影响是由SARS引起的，会随着SARS的结束而结束。关键词：SARS；负反馈系统；时间序列模型；资本资产定价模型分类号：AMS(2000)62M10中图分类号：O212．3文献标识码：A1数学

4、模型的分析与建立1．1假设与符号说明1)统计数据是可靠的；2)病人处于潜伏期时不传染他人；3)采取的所有控制措施对于阻止SARS病毒的传播都是有效的。I：到第n天为止累计确诊的病人数；D：到第n天为止累计的死亡人数；S：第n天的疑似病人数；C：到第n天为止治愈病人数；d：死亡率；g：治愈率；S：新增病人与新增疑似病人的比值；S2：疑似病人转化为正常人的比率；K：区域内的自反馈参量；F反馈变量；Kf：反馈系数。1．2现在我们分析问题并建立相应的数学模型：社会的反应往往是一个渐变的过程，会随疫情的变化而变化，是一个负反馈过程，比如，维普资讯http://www

5、.cqvip.com工程数学学报第20卷当疫情严重时人们会自觉地减少与他人接触，相反的当疫情不显著时人们会放松警惕而增加与他人接触的机会。为此我们建立如下负反馈系统(图1)。将实际情况与控制力度的关系通过反馈系数实现自动调节，这样就能及时采取控制措施，使得病情传播速度迅速减小，以求最后达到消灭病情的目的。在以上系统中：①A是开环增益(OpenLoopGain)，表示基本放大器的放大倍率，即为输出信号与输入信号的比值。在研究SARS传播的模型中，我们将此定义为SARS病毒在未受控制情况下的自然传播速度，即病毒的基本传播率。②K是反馈网络中的反馈系图l系统示意

6、数，即反馈信号与输出信号的比值。在该模型中我们将它定义为各种反应因素的总和，通过负反馈可以减小病毒传播速度。③输入信号xi定义为当前情况下SARS的传播情况。④输出信号)(r}定义为t时间后社会上SARS的传播情况。◆通过以上系统，我们得到参量A，Kf与输入信号(X，Xj)，输出信号(x0)以及反馈信号Xf之间的关系：X0=A。X(1)，Xr=Kr‘X0(2)，X=X+Xr(3)定义闭环增益(ClosedLoopGain)A为病毒的实际传播率，定义反馈深度F，表示对调节元件灵敏度的折中，并将式(1)(2)(3)代人则A，=磐=，F=+=+簧·=+K，·A，

7、A，=X由上式分析得到：①当反馈系数K<0时，系统是负反馈的，这正是我们需要的系统。这样社会上病毒传播速度即系统中的输出量变化时，系统参数自我调节为：f—Xi‘f一)(0f—Kff——②当反馈系数K>0时，系统是正反馈的，由于控制措施的目的是阻止病毒传播，因此K不可能是正值，除非处理SARS的方法是错误的。对于这个系统来说，可以不考虑这种情况。◆基于对以上系统的分析，我们考虑建立现实的SARS传播模型：①因为要控制的实际量为SARS确诊病人数，因此x。就为I，)(0为I+1，I表示到第n天为止累计确诊的病人数。②量化时间，以天为单位。③选定某一区域为研究区

8、域，在模型中建立各反馈参量：a)设该区域内的自反馈参量为，表示该地