2007级《微积分A》期中试卷.doc

《2007级《微积分A》期中试卷.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、课程编号：A071001北京理工大学2007-2008学年第一学期2007级《微积分A》期中试卷班级学号姓名成绩一、填空（每小题3分，共30分）1．设.当时，是的阶无穷小，其中5.2．设函数由方程确定，则1.3．曲线的斜渐近线为.4．设在点处连续且可导，则2，0.5．若存在，，则.6．若曲线与在点处相切，则-4，2.7．已知在处可导，且则0,.8．数列极限.9．已知方程有实根，则应满足的条件是:.10．设则.二、（10分）设，求，并求曲线在参数对应点处的曲率.解：………………………………..分……………………………….分时，，……………………………….分4第页（本试卷共4

2、页，正反两面印刷）曲率为：…………………………………..分三、（10分）设，由拉格朗日中值定理,得：，使得.求极限的值.解：由已知得：………………………………..分……………………..分四、（10分）证明不等式：当时，证明：设，则…………..分………………………………..分所以当时，单增，从而即………………………………..分五、（10分）设函数在处有极值.（1）试确定系数；（2）求出的所有极值及单调区间；（3）求曲线的凹凸区间和拐点.解：（1）由已知条件知：解得：…………………………..分（2），令得驻点时，有时，有时，知为极大值点，为极小值点；极大值为极小值为……………

3、……………..分4第页（本试卷共4页，正反两面印刷）（3），令得，时，，曲线为凸弧；时，，曲线为凹弧.拐点为（0，0）.………………………………..分六、（10分）设函数，试求的表达式，并讨论在处的连续性，若是间断点，请指出间断点的类型.解：当时，…………………..分当时，所以…………………………..分所以在处连续。………………………………..分七、（10分）某轮船航行一昼夜的耗费（单位：元）为，其中是正的常数，是船航行的速度（单位：）.利用你学过的微积分知识，求取何值时可使得船航行一公里时的平均耗费最小.解：船航行一公里时的平均耗费函数为：，…..分，令得唯一驻点，……

4、…………………..分又时，时，4第页（本试卷共4页，正反两面印刷）所以在处取得极小值，又因为驻点唯一，所以在处取得最小值。故时可使得船航行一公里时的平均耗费最小。最小值..分八、（10分）设在上二阶可导，且求证：存在使得证明：做辅助函数；，…………………………..分由已知条件知，在[0，1]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知：至少存在一点使得………………………….分易验证在上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点使得即，即结论成立。……………………..分4第页（本试卷共4页，正反两面印刷）