正余弦定理专题.doc

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1、解斜三角形（正余弦定理灵活应用）1.正弦定理：===2R.（关键点“比”）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA；①b2=c2+a2－2cacosB；②c2=a2+b2－2abcosC.③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.cosA=；cosB=；cosC=.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边

2、和其他两个角.可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.判断三角形的形状：1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）答案：CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）答案：CA.sinA+cosA=B.·＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°解析：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.由·＞0，得·＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角.由tanA+tanB+tanC＞0，得ta

3、n（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.由=，得sinC=，∴C=或.3.在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.解：a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.解斜三角形（求角度和长度）4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=.答案：5.

4、在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°答案：B6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______.解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.答案：45°7.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.证明：用正弦定理，a=

5、2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC－=sinBsin（A+B）（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=.所以cosA=co

6、s2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）答案：BA.B.1+C.D.2+解析：2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b为边长，∴b=1+.9

7、.已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高.（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，∴=2.∴tanA=2tanB.（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.