2012高考数学最后冲刺 空间直线与平面.doc

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1、最后冲刺【高考预测】1.空间直线与平面的位置关系2.空间角3.空间距离4.简单几何体5.利用三垂线定理作二面角的平面角6.求点到面的距离7.折叠问题易错点1空间直线与平面的位置关系1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：BP⊥平面EFD；（3）求二面角C—PD—D的大小.【错误解答】第（2）问证明：∵PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又由已知EF⊥PB，所以根据三垂线定理可得：DF⊥PB，又EF⊥PB，∴PB⊥平面EFD。

2、【错解分析】直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DE⊥PC，不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE⊥平面PBC，才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。【正确解答】（1）如图，连接AC、AC交BD于O，连接EO。∵底面ABCD为正方形，∴O为AC的中点，在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO，又EO平面EDB，且PA平面EDB，所以PA//平面EDB；（2）∵PD⊥平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD，又底面ABCD为正方形，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE，又DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又EF⊥PB，∴

3、DF⊥PB，又PB⊥EF，∴PB⊥平面DEF；（3）由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB，设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=a,DE=PC=,在Rt△PDBk,OF=.在Rt△EFD中，sin∠EFD=,∴∠EFD=所以二面角C—PB—-28-用心爱心专心D的大小为2．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)【错误解答】由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的

4、对角线，由正方形的性质可得l⊥MN，l⊥MP，l⊥NP，∴（1）中l⊥面MNP；（2）中l在下底面的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（3）中取AB的中点E，连接ME、NE，∵l在下底面的射影垂直于EN，∴l⊥EN，∴l⊥面MEN，∴l⊥MN，同理l⊥MP，∴l⊥面MNP；（4）中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，EP，l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME，EP垂直，∴l⊥ME，∴l⊥面MP，得l⊥面MPN；综合知，本题的答案是（1）、（2）、（3）、（4）、（5）【错解分析】直线与平面垂直的判定有误，

5、证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。【正确解答】（1）中l在面ADD1A、A1B1C1D1，内的射影分别为AD1，B1D1，而AD1⊥MN，B1D1⊥MP，∴l⊥MN，l⊥MP,∴l⊥面MNP；（2）中若l⊥MN,则取AA1的中点E，连接ME、NE，l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1⊥ME，∴l⊥ME，结合l⊥MN，得l⊥面MEN，∴l⊥NE,这显然不可能，∴l与MN不可能垂直，∴l与面MNP不垂直；（3）类似（2）的证明，可得l与面MNP不垂直；（4）中l⊥MP易证，而MN∥AC，l⊥AC，∴l⊥MN，∴l⊥面MNP；

6、（5）中取AA1中点E，连接ME，PE，可证得l⊥面MEP，∴l⊥MP，同理可证l⊥NP，∴l⊥面MNP，综上知，本题的正答案是（1）、（4）、（5）。3．（2012精选模拟）如图10-4所示，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由；（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明。-28-用心爱心专心【错误解答】（1）∵AD∥平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，∴AD∥HG，同理AD∥EF，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴

7、四边形EFGH为平行四边形；（2）取AD中点P，连接BP、CP，∵ABCD为正棱锥，所以BP⊥AD，CP⊥AD，∴AD⊥面BCP，又由（1）知HG∥AD，∴HG⊥面BCP，∴P为所求，此时AP=.【特别提醒】解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a∥α则过a作一平面β，使βα=b，再证a∥b；第三要善于转化，如两条羿面直线