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《2014高考数学最后冲刺 空间向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、最后冲刺【高考预测】1.求异面直线所成的角2.求直线与平面所成的角3.求二面角的大小4.求距离5.利用空间向量解立体几何中的探索问题6.利用空间向量求角和距离易错点1求异面直线所成的角1．如图11-1，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。【错误解答】第（2）问。∵PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°
2、∴AD、AB、AP两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），∴=（1，1，0），=（0，-2，1），∴cosθ=∴AC与PB所成的角为arccos(-).【错解分析】上述错解中有两个错误：（1）的坐标应用B的坐标减P的坐标，∴=（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0°，90°），而arccos(-)为钝角，cosθ=【正确解答】
3、（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD平面PCD，∴平面图PAD⊥平面PCD。（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AB，又AD⊥AB，∴可以建立如图所示空间坐标系，则由已知A（0，0，0）、C（1，1，0）、B（0，2，0）、P（0，0，1）∴=（1，1，0），=（0，2，-1），设与PB成角为θ，则cosθ=,∴AC与PB所成的角为arccos.-23-用心爱心专心(3)∵M为PB的中点，∴M（0，1，），∴=（0，1，），=（1，1，0）设n1=(x
4、,y,z)为平面AMC的法向量，则n1⊥,n1⊥,∴y=z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2,∴n1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量，同理可求得n2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量，∴n1、n2的夹角为arccos,而从图中可看出A-MC-B为钝角，∴二面角A-CM-B的大小为。2．如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E。（1）求证BD⊥A1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直
5、线AD与BC1所成角的大小。【错误解答】第（3）问，由已知AD、DC、DD1两两互相垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系，∴A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2，2，0）C1（0，2，）∴（-2，0，0）=（-2，0，）。cosθ==∴AD与BC1所成的角为arccos.【错解分析】B点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为AB⊥AD,BC⊥CD,本题还会出现以BD为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的建立坐标系的错误.【正确解答】(1)∵ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱。∴AA1⊥底面A
6、BCD，∴A1C在底面ABCD上的射影为AC，又由已知AC⊥依三垂线定理可得BD⊥A1C。（2）如图，以D为坐标原点，DA、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。连接A1E1、C1E1、AG1。与（1）同理可证，BD⊥A1E1，BD⊥C1E1，∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角。由A1（2，0）、C1（0，2，）、E（），得-23-用心爱心专心即EA1⊥EC1。∴二面角A1-BD-C1的大小为90°。本题还可以E为坐标原点，EB、EC分别为x轴和y轴，则z轴与AA1平行，E（0
7、，0，0）、A1（0，-1，）、C1（0，3，）B（，）0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。【特别提醒】利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应
8、学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。【变式训练】1．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。-23-用心爱心专心答案：如图：∵ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面空间直角坐标系.则A（0，0，0）、A1（0，0，b）、B（a,a,0）、C1（2a,0,b）,∴∴cosθ=AC1与A1B所成的角为a
