2014高考数学最后冲刺 数列

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1、最后冲刺【高考预测】1.数列的概念2.等差数列3.等比数列4.差与等比数列的综合5.数列与解析几何、函数、不等式的综合6.数列的应用7.数列的概念8.等差数列与等比数列9.数列的通项与前n项和10.递推数列与不等式的证明11.有关数列的综合性问题12.数列的实际应用13.数列与图形易错点1数列的概念1．(2012模拟题精选)已知数列｛an｝满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,(n≥2)，则｛an｝的通项an=_________.【错误答案】∵an=a1+2a2+3a3+…

2、+(n-1)an-1，∴an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2，两式相减得an-an-1=(n-1)an-1，∴an=nan-1.由此类推：an-1=(n-1)an-2，…a2=2a1，由叠乘法可得an=【错解分析】在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围．当n=1时，a1=与已知a1=1，矛盾．【正确解答】∵n≥2时，an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1①当n≥3时，an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2②①-②得an-an-1=(n-1)·a

3、n-1∴当n≥3时，=n，∵an=··．．．·=n·…·4·3×a2=a2，∵a2=a1=1∴当n≥2时，an=.当n=1时，a1=1故an=2．(2012模拟题精选)设数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是________.-45-用心爱心专心【错误答案】∵Sn==,∴此数列是等比数列，首项是a1，公比是3，由a4=a1·34-1，∴a1=2．【错解分析】此题不知数列｛an｝的类型，并不能套用等比数列的公式．而答案一致是巧合．【正确解答】∵a4=S4-S

4、3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2．3.(2012模拟题精选)已知数列｛an｝满足a1=1，an=3n-1+an-1(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)求通项an的表达式．【错误答案】(1)∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13．(2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1即an成等差数列，公差d=3n-1．故an=1+(n-1)·3n-1．【错解分析】(2)问中an-an-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义．【正确

5、解答】(1)∵a1=1，∴a2=4，a3=32+4=13．(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=.4．(典型例题Ⅲ)等差数列｛an｝中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于()A.160B．180C.200D．220则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()A.4005B．4006C.4007D.4008【错误答案】∵a2004+a2003>0，即2

6、a1+2002d+2003d>0，(a1+2002d)(a1+2003d)<0，要使-45-用心爱心专心Sn>0．即使na1+d＞0．这样很难求出a1，d.从而求出最大的自然数n.故而判断a2003>0，a2004<0，所以前2003项为正，从第2004项起为负，由等差数列的n项和的对称性使Sn＞0．故而取n=4005使Sn>0．【错解分析】此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意．a2003>0，a2004<0．且忽视了这两项的大小．3．(2012模拟题精选)设无穷等差数列｛an｝的前n项和为Sn

7、.(Ⅰ)若首项a1=，公差d=1，求满足Sk2=(Sk)2的正整数k;(Ⅱ)求所有的无穷等差数列｛an｝；使得对于一切正整数中k都有Sk2=(Sk)2成立．【错误答案】(1)当a1=,d=1时，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4．∴k≠0．故k=4．(Ⅱ)由对一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立．即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0对—切正整数k恒成立．故求得a1=0或1，d=0∴等差数列an=｛

8、0,0,0,…｝，或an=｛1，1，1，…｝．【错解分析】(Ⅱ)中解法定对一切正整数k都成立．而不是一切实数．故而考虑取k的特值也均成立．【正确解答】(Ⅰ)当a1=,d=1时，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k≠0，所以k=4．(Ⅱ)设数列｛an｝的公差为d，则在Sk2=(Sk)2中分别取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1.当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,则an=0,s