数列的基本性质及应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com36数学通讯2007年第24期数列的基本性质及应用刘康宁党效文(西安铁一中，陕西710054)(西安高新一中，陕西710075)≈2oo7×≈5519，数列的性质反映了数列的本质属性，是数学竞赛命题的重要内容．本讲主要研究数列的基本性质又⋯一ss。一[卜[卜及应用．1．数列的单调性[]+[]+[]+[卜数列是一种特殊的函数，处理函数单调性的方[=5519_2759_ll03_501-}-250+551—50法也适合于数列，证明数列单调性的方法为求差法、+i00—2

2、007．作商法．并且5519不是2，5，11的倍数，从而a一2．数列的周期性5519，选(B)．对数列周期性的研究，体现了函数思想和观点，说明：此题研究了数列中项的整除性和容斥原而数列的周期性包括周期数列和模周期数列两类．理计数、数论等知识，也是Lambek-Moser定理的3．数列项的性质特例．数列的项体现了数列的特征，对数列项的性质例2(2003年女子数学奥林匹克竞赛试题)数常从以下方面研究：①项的最值；②项的整除；③项列{a)定义如下：a1=2，a什1=a：一a+1，一1，2，的有界．3，⋯．例1已知在正

3、整数构成的等差数列1，3，5，7，⋯⋯中删去所有和55互质的项后，把余下的各项按证明：1l_一<蚤去<1．从小到大的顺序排成一个新数列{a)，易见a，一1，讲解由+】：n：一+1得—一a^+1一la^一la2—3，a3—7，⋯，那么007一()1(A)9597．(B)5519．(C)2831．(D)2759．一，于是讲解{a)可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，⋯中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把l；1去n一cn1一l一a2—la2—l一aa一1+余下的各项按从小到大的顺序排成的数列，由容斥

4、⋯+‘一-_)=一1—1原理知，1，2，3，4，⋯，m中不能被2，5或11整除的项的个数为一a2∞4—1’一一[詈]一[詈]一[罱]+[蠢]+又口+1一a(n一1)+1，并结合a1—2，可得n>1且a+1>n即a2oo4>1．[]+[焉]_[](其]表示不大于n的最20031所以∑2003．焉一一m(1一1八l一了1)(1一击)一备m由递推式可归纳出an+l=al．n，⋯．+1以维普资讯http:

5、//www.cqvip.com2007年第24期数学通讯37及乱·n2⋯一n>(≥1)，从而结论成立．所以，满足条件的r／只有一个，即一3．说明：裂项求和的运用是关键，而数列的单调性说明：在数学竞赛题中，直接证明数列的单调性用于处理数列项n>1的性质．的题目不多，单调性主要体现在工具性上．例5(2007年全国高中数学联赛天津赛区预例3已知数列{)中，n一专，n一1一(赛)已知数列{n)(≥O)满足no一0，n一1．对所有≥2)．数列{)的前项和为S．正整数，有n+l=2a+2007a～1，求使2008ln成1)

6、求n；立的最小正整数．2)求Sz008；讲解’n+1三三三2n一n一l(mod2008)~讲解1)由已知条件易得al一1，n。=一1，nn+l～n三n一n一l(mod2008)．又n0—0，nl一1，一2．‘．．口~-n(mod2008)，而2008J口，·‘1～一一‘·．nR1工l．2008l，即满足条件的最小正整数为2008．说明此题从数列的模周期性上考虑解决．通—一(≥2)．常模周期数列中的“模”是解题成功的关键．例6设数列{n)的通项为n一(丽994)(。+·．．n+2—1～：n一：》n+3：n．994

7、)(∈N+)．试求{n)的最大值．f1(=3k-2)，讲解求给定数列的最值项主要考察数列的单所以ao=I-i(一3k一1)，(其中EN+)调性．f‘。L2(一3k)．．nn+1一n2)S2。08—669(以I+以2+口3)+口1一()+i+994)。+994)]一9+’9一1004．‘一·()[9942(Tl-994)例4(第19届巴尔干地区数学奥林匹克竞赛令(n)一n+】一n，贝0当1≤≤2×994—1：题)已知数列n1—20，n2—30．Ⅱ+2—3a+1一n(≥1987时，()>O，即n+l>n，即al

8、2<⋯~a19871)，求所有的正整数，使1+5an+是完全平方数．n199o>⋯．所以C+1-C=5a+l(n+2-a)=+1一b：，当一2×994—1988时，()一0．a1989~a1988．从而C+l～+