资源描述：
《数列的性质及通项、求和的应用探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列的性质及通项、求和的应用探究摘要：数列的基本性质、通项及求和是高考考查的基本内容，属于基础题，一般情况下客观题型小而巧，主耍考查等差、等比数列的性质，难度中等。熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列通项与求和问题的基础。对于常见的数列的求通项、求和的类型题要善于分类归纳整理，学握各种类型的通解通法。关键词：数列性质通项求和类型一：数列性质(一)等差数列性质例1.已知a■为等差数列,若al+a5+a9=8n,则cos(a3+a7)的值为()。A.■B.-■C.■D.-■解析：因为al+a5+a9=8n,所以a5=B兀，所以a3+a7=2a5=B兀，所以
2、cos(a3+a7)二cos・n二-・。考点：等差数列的性质。变式:设等差数列a■的前n项和为Sn,且S5二10,S10=30,则S15二()oA.60B.70C.90D.40解析：因为数列a■为等差数列，所以S5,S10-S5,S15-S10成等差数列，设S15二x,则10,20,x-30成等差数列，所以2X20=10+(x-30),所以X二60,即S15二60。考点：等差数列的性质，等差中项。变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn,且・二■，则使得■为整数的正整数的个数是()oA.2B.3C.4D.5解析：在等差数列中，若m+n二p+q,则am+an
3、二ap+aq。因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn,且■二■,所以，■二■二■二■二■二■二7+・，为使■为整数，需n+1为2,3,4,6,12,共5个，故选D。考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。点评：中档题，在等差数列中，若m+n二p+q,则am+an=ap+aq0本题较为典型。(二)等比数列性质例2：在正项等比数列a■中,Iga3+lga6+lga9=3,则alall的值是()。A.10000B.1000C.100D.10解析：因为Iga3+lga6+lga9=3,同底对数相加得a3a6a9=103,用等比数列的性质得，a63二103,所以a6
4、二10,所以alall=a62=100o考点：对数的运算，等比数列的性质。变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18,则Iog3al+log3a2+•••Iog3al0=()。A.12B.10C.8D.2+log35解析：•/a3+a8+a5+a6=18,alal0=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,Iog3al+log3a2+---logaSalO应为・・a■二log・9■二10。故选Bo考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r,故aH?aB=a■?a・，特别地，当m+n二2k,则am
5、?an=aBB,然后利用对数的运算法则即可。类型二：数列通项与求和的应用例3：已知等比数列a■中,al二2,且al,a2+l,a3成等差数列，(1)求数列a■的通项公式；(2)求数列na■的前n项的和。解析：(1)根据al,a2+l,a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。(2)较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。试题解析：(1)设数列a■的公比为q,a2=2q,a3=2q2,由题设知,al+a3二2(a2+l).•.2+2q2二4q+2,q二2或0,TqHO,Aq=2,an二2no(2)设数列胆■的前n项的和为Sn,sn=lX2+2X2
6、2+3X23+-+nX2n(1)2sn二lX22+2X23+・・・+(n-1)2n+nX2n+l(2)(1)—(2)得:_sn=2+22+23+•••+2n_nX2n+l=H_nX2n+lsn二(n-1)X2n+l+2考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。变式：已知数列｛an｝的前n项和Sn=-■n■+kn(kWN*),且Sn的最大值为8o(1)确定常数k,求an；(2)求数列■的前n项和Tn。解析：(1)当n二k^N*时，Sn二-■n・+kn取最大值，即8二-・k・+k2二■故k二4,从而an二Sn-Sn-1二■-!!(n$2),又al二Sl=・，所以an二■-n
7、。•.•bn二■二■,Tn二bl+b2+・・・+bn二：!+■+■+・・・+■+■,・•・Tn二2Tn-Tn二2+1+■+…■二4-■-■二4-。考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。点评：典型题，本题首先由Sn,an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程屮应用了“错位相减法”。在数列问题屮，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。(责编金东)
