数列通项公式的求法及数列求和方法

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1、数列通项公式的求法及数列求和方法数列通项公式的求法及数列求和方法详解关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：1,2（1）9，99，999，9999，„（2）n124916,3,4,1,（3）510172,31,22,（41,52-2,334,-,452nn222;（4）an=(-1)n+1⋅;（3）an=答案：（1）an=10-1（2）an=n+2.n+1n+1n+1公式法1：特殊数列例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函

2、数f(x)2=(x－1)，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；n－1n－1答案：an=a1+(n－1)d=2(n－1)；bn=bq=4(－2)例3.等差数列{an}是递减数列，且a2⋅a3⋅a4=48，a2+a3+a4=12，则数列的通项公式是（）(A)an=2n-12(B)(D)例4.已知等比数列{an}的首项a1=1，公比0简析：由题意，bn+1=an+2+an+3，又{an}是等比数列，公比为q∴an=2n+4(C)an=-2n+

3、12(D)an=-2n+10bn+1an+2+an+3==q，故数列{bn}是bnan+1+an+2等比数列，易得bn=q(q+1)⋅qn-1=qn(q+1).22点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2：知sn利用公式an=⎨⎧s1,n=1.⎩Sn-Sn-1,n≥2例5：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式.（1）Sn=n3+n-1.（2）sn=n2-1答案：（1）an=3n-3n+2，（2）an=⎨否统一.【型如an+1=an+f(n

4、)的递推关系】简析：已知a1=a,an+1-an=f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项an.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得2(n=1)⎧0点评：先分n=1和n≥2两种情况，然后验证能⎩2n-1(n≥2)例6、已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则

5、n22≥2时an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a3-a2)+(a2-a1)+a1=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]++(2⨯2+1)+(2⨯1+1)+1=2[(n-1)+(n-2)++2+1]+(n-1)+1(n-1)n=2+(n-1)+12=(n-1)(n+1)+1=n2n=1时，上式也成立.所以数列{an}的通项公式为an=n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1，进而求出an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a3-a2

6、)+(a2-a1)+a1，即得数列{an}的通项公式。例7、已知数列{an}满足an+1=an+2⨯3n+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。解：由an+1=an+2⨯3n+1得an+1-an=2⨯3n+1则n≥2时an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(2⨯3n-1+1)+(2⨯3n-2+1)++(2⨯32+1)+(2⨯31+1)+3=2(3n-1+3n-2++32+31)+(n-1)+33(1-3n-1)=2+(n-1)+31-3=3n-3+n-1+3=3n+n2

7、2-1n=1时，上式也成立.所以an=3n+n-1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2⨯3+1转化为an+1-an=2⨯3+1，进而求出nnan=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a3-a2)+(a2-a1)+a1，即得数列{an}的通项公式。练习1：已知数列6，9，14，21，30，„求此数列的一个通项..答案：an=n2+5(n∈N)练习2：若在数列{an}中，a1=3，an+1=an+2n，求通项an.答案：an=2+1n练习3：已知数列{an}满足a1=3，an=an-1+【形如an

8、+1=f(n)an型】1(n≥2)，求此数列的通项公式.答案：an=4-1nn(n-1)an+1（1）当f(n)为常数，即：，此时数列为等比数列，an=a122⋅qn-1.=q（其中q是不为0的常数）an（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例7、已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5n⨯an，