高一T同步(函数恒成立问题3星).doc

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1、同步：函数恒成立问题(★★★)知识梳理恒成立问题的基本类型：类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立.类型2：设（1）当时上恒成立或或上恒成立（2）当时上恒成立上恒成立或或类型3：；.类型4：【对于函数恒成立问题可以借助于函数图象去解决，二次函数图象及其他函数的利用是解这类题的关键.】5典例精讲例1（★★★）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．解：首先讨论时，此时或.（1）当时，原不等式变为，解得不等式为，与对一切实数恒成立矛盾.所以不合题意.当时，原不等式变为，对一切实数恒成立,所以符合题意.（2），不等式是二

2、次不等式，要使得不等式对一切实数恒成立，需要，满足，解得.综上所述，实数的取值范围为.【本题中重点要注意二次项系数是否为0，当二次项系数是为0时，代入不等式得到当时，对一切实数恒成立；当二次项系数不为0时，借助于二次函数图象得到函数】巩固练习1.（★★★）若不等式的解集是，求的范围.解：（1）当时，原不等式化为恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，.【解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0.题目中没有说是一元二次不等式，所以二次项系数可以为0.】2.（★★★）若关

3、于的不等式的解集为，求实数的取值范围.解：设.则关于的不等式的解在上恒成立,即解得5例2（★★★）已知函数，⑴在R上恒成立，求的取值范围.⑵若时，恒成立，求的取值范围.解：（1）分析：的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点.在R上恒成立，等价于.（2），令在上的最小值为.①当，即时，又不存在.②当，即时，又③当，即时，又综上所述，.【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】巩固练习1.（★★★）已知函数，若时，恒成立，求的取值范围.解法一：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原

4、题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题.，即在上成立.（1）52—2（2）综上所述，.解法二：（利用根的分布情况）（1）当，即时，不存在;（2）当，即时，，；（3）当，即时，，综上所述.【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，因为当对称轴变化时，函数取得最值的位置不同，在解恒成立问题时，要用到求函数最值.】例3（★★★）若任意实数满足，则实数的取值范围是.解：将不等式变形得：，分离参数后，题目中是任意使得不等式成立，所以转化为恒成立问题，设，只要即可，易知函数在上是单调递增的，所以.故.【此题可以转化成二次函

5、数求最小值大于0，但这需要讨论，有些复杂.如果用分离参数的方法做就非常简单，避免了分类讨论，在讲解过程中可以跟学生强调这种方法的巧妙性.】5巩固练习1.（★★★）函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围.解：方法一：对任意，恒成立，可转化为，分离参数得，令，只需要.在上，当时取得最大值，，故.方法二：，对任意，恒成立，只需要即可.但此时要注意讨论的取值范围.（1）当时，在上单调递增，成立.（2）当时,在上单调递增，成立，所以.（3）当时,在上单调递增,,所以；当时,在上最小值在时取到，即恒成立.综上所述，实数的取值范围.【此题在于

6、问题的转化，如果不转化就要分类讨论求函数的最小值，分类讨论比较繁琐；如果能转化，分离参数避免了分类讨论，这种转化能力需要在平时给学生强调.】回顾总结（1）函数恒成立问题的理解：_________（2）函数恒成立问题常见的几种解法：_____________5