题型集训(16)——与圆有关的计算和证明.doc

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1、题型集训(16)——与圆有关的计算和证明杭州温州宁波绍兴嘉兴、舟山湖州台州金华衢州2018年第22题第26题第21题第24题第21题第22题10分14分8分14分8分10分2019年第22题第21题第21题第21题10分12分8分8分1.(2019·天水)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．解：(1)连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴PA＝PC，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠O

2、CP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；(2)∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，由(1)知∠OCF＝90°，∴CF＝OCtan∠COB＝5.2．(2019·绵阳)如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．证明：(1)∵C是的中点，∴＝，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴＝，∴＝，∴CD＝BF，

3、又∠F＝∠CDG，∠FGB＝∠DGC，∴△BFG≌△CDG(AAS)；(2)连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22，Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r－2)2，∵＝＝，∴＝，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，解得：r＝1(舍)或3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF＝2.3．(2019·黔东南州)如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B.(1)若∠A＝30°，求证

4、：PA＝3PB；(2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝(90°－∠P)成立．请你写出推理过程．解：(1)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵PC是⊙O切线，∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BC＝AB，∴PA＝3PB；(2)∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝90°－∠P，∴∠BCP＝(90°－∠P).4．(2019·温州)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边

5、上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF.(1)求证：四边形DCFG是平行四边形；(2)当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．(1)证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD＋∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；(2)解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝

6、3x，∴BG＝8x－3x－3x＝2x，∵GE∥CF，∴＝＝，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6＋4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝＝3，即⊙O的直径长为3.5．(2019·襄阳)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.(1)求证：DG是⊙O的切线；(2)若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．　　　　　　(1)证明：连接OD交BC于H，如图，∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴D

7、G是⊙O的切线；(2)解：连接BD，OB，如图，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝BC＝3，在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，∴∠BDH＝60°，而OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，∴∠BOC＝120°，∴优弧的长＝＝8π.