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《高考专题-数学归纳法-沪教版教案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、海量课件、教案、试题免费下载，尽在kejian.glzy8.com课件下载网！数学归纳法一.知识梳理(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等二、典型例题讲解【例1】证明：(1)>1(2)>分析:如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难,但是如果用数学归纳法就比较容易.以下是详细证明过程.证明:(1)ⅰ:当n=1时,左=
2、>1,故n=1时不等式成立.ⅱ:假设当n=k时不等式成立，即>1那么当n=k+1时,左===>1故n=k+1时不等式成立根据（1）（2）可知：结论对于一切正整数n成立.(2)第一步:当n=1时,左=2,右=,故左>右,即n=1时不等式成立.第二步:假设n=k时不等式成立,即>那么n=k+1时,海量课件、教案、试题免费下载，尽在kejian.glzy8.com课件下载网！左=>===>0左>>n=k+1时不等式成立． 第三步：根据（1）（2）可知：对于一切正整数n不等式成立。【例2】证nÎN*时有>证明：显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有³1－（）…………（
3、1）用数学归纳法证明（1）式：①n＝1时，（1）式显然成立，⑵设n＝k时，（1）式成立，即³1－（）则当n＝k＋1时，³〔1－（）〕·（）＝1－（）－＋（）³1－（＋）即当n＝k＋1时，（1）式也成立。故对一切nÎN*，（1）式都成立。利用（1）得，³1－（）＝1－海量课件、教案、试题免费下载，尽在kejian.glzy8.com课件下载网！＝1－>故原式成立，从而结论成立。【例3】设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S
4、1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得＝．(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…． 下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1
5、时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立． 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．海量课件、教案、试题免费下载，尽在kejian.glzy8.com课件下载网！【例4】(09山东)等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上。（Ⅰ）求r的值。（Ⅱ）当b=2时，记求证：对任意的不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,则
6、,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.②假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.海量课件、教案、试题免费下载，尽在kejian.glzy8.com课件下载网！【例5】(09陕西）已知数列满足，.猜想数列的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：。证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，，结论成立当时，易知海量课件、
7、教案、试题免费下载，尽在kejian.glzy8.com课件下载网！三、同步练习一、选择题1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.6解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1
