高二数学 《数学归纳法的应用》教案 沪教版

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1、7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析1．本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.2．本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立.二、教学目标

2、设计1．会用数学归纳法证明等式；2．会用数学归纳法证明数或式的整除；3．进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.三、教学重点及难点：用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.四、教学流程设计运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)数式整除实例引入等式证明复习回顾五、教学过程设计1．复习回顾：用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.如果只完成步骤（i）而缺少步骤（ii）不能说明命题对从n0开始的一切正整数n都成立.如+1，当n=0、1、2、3、4时都是素数，而n=5时，+1=641×

3、6700417不是素数.同样只有步骤（ii）而缺少步骤（i），步骤（ii）的归纳假设就没有根据，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论.如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a为任何数）2．讲授新课:用数学归纳证明等式例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2例2：用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）[说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出：(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的结论形式是已知的，

4、只要将原等式中的n换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生来说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.如求证：…（nN*）.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=×1×（4-1）=1等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时等式成立，即,则n=k+1时，又即等式成立.由（1）（2）知，等式对任何nN*都成立.(3)用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推过程中应注意等式左右的项数

5、的变化.由当n=k到n=k+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因n的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况.例如：求证：（*）.例3（补充）在1与9之间插入2n-1个正数数，使1，，9成等比数列，在1与9之间又插入2n-1个正数，使1，，9成等差数列.设，,（1）求、（2）设，是否存在最大自然数m，使对于nN*都有被m整除，试说明理由.解：（1）（2）当n=1时，=64当n=2时，=320=5×64当n=3时，=36×64由此猜想：最大自然数m=64用数学归纳法证明上述猜想

6、：1.当n=1时，猜想显然成立;2.假设当n=k（kN*）时成立，即能被64整除，则当n=k+1时，由归纳假设知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除.由1、2知，能被64整除（nN*）.又因为，所以存在最大自然数64，使能被64整除（nN*）.[说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第（1）小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质，起到了对等差、等比数列知识的复习作用.本例也可以先将等差、等比数列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可让学生完成），同时本例的第（2）小

7、题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性，又为进一步掌握归纳—猜测—论证的问题提供了保证，是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学习水平决定.3.巩固练习:练习7.6(2)1,2,34．课后习题：习题7.5A组习题7.5B组5.课堂小结:（1）本节中心内容是数学归纳法的应用，数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题；（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格

8、证明;归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方法，它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法！因此，它不属于“不完全归纳法”！甚至连“归纳法”都不是！(3)学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；数学归纳法证题的步骤：①验证P()成立.②假设P(k)成立(k∈N*且k≥)，推证P(k+1)成立.数学归纳法的核心，是在验证P()正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥).第一步是递推的基础