高二数学上册《数学归纳法的应用》教师教学案沪教版

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1、7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析1.本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时,更要注意说理清楚,并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2.本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路:通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法,通过相减后,证明差能被某数(或某式)整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。二、教学目标设计1.会用数学归纳法证

2、明等式;2.会用数学归纳法证明数或式的整除;3.进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.三、教学重点及难点:用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.四、教学流程设计运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)数式整除实例引入等式证明复习回顾五、教学过程设计1.复习回顾:-7-用数学归纳法证明命题的两个步骤,是缺一不可的.如果只完成步骤(i)而缺少步骤(ii)不能说明命题对从n0开始的一切正整数n都成立.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。如+1,当n=0、1、2、3、4时都是素数,而n=5时,+1=641×6700417不是素数.同样只有步骤(ii)而缺少步骤(i),步

3、骤(ii)的归纳假设就没有根据,递推就没有基础,就可能得出不正确的结论.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。如2+4+6+…+2k=k2+k+a(a为任何数)2.讲授新课:用数学归纳证明等式例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2例2:用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).[说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出:(1)由于证明当n=k+1等式成立时,需证明的结论形式是已知的,只要将原等式中的n换成k+1即得,因此学生在证明过程中,证明步骤必须完整,不能跳步骤;(2)有些等式证明题在

4、证明当n=k+1正确时,需用恒等变形,技巧较高,对基础较差的学生来说完成很困难,这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。如求证:…(nN*).证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=×1×(4-1)=1等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即,则n=k+1时,又-7-即等式成立.由(1)(2)知,等式对任何nN*都成立.(3)用数学归纳法证明恒等式成立时,在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化.由当n=k到n=k+1时项数的增加量可能多于一项,各项也因n的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况.謀荞抟箧飆鐸怼类

5、蒋薔。例如:求证:(*).例3(补充)在1与9之间插入2n-1个正数数,使1,,9成等比数列,在1与9之间又插入2n-1个正数,使1,,9成等差数列.设,,厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(1)求、(2)设,是否存在最大自然数m,使对于nN*都有被m整除,试说明理由.解:(1)-7-(2)当n=1时,=64当n=2时,=320=5×64当n=3时,=36×64由此猜想:最大自然数m=64用数学归纳法证明上述猜想:1.当n=1时,猜想显然成立;2.假设当n=k(kN*)时成立,即能被64整除,则当n=k+1时,由归纳假设知能被64整除,又也能被64整除,所以也能被64整除.由

6、1、2知,能被64整除(nN*).又因为,所以存在最大自然数64,使能被64整除(nN*).[说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第(1)小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质,起到了对等差、等比数列知识的复习作用.本例也可以先将等差、等比数列的公差d、公比q用n表示,然后求出、(可让学生完成),同时本例的第(2)小题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性,又为进一步掌握归纳—猜测—论证的问题提供了保证,是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学习水平决定.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。3.巩固练习:练习7.6(2)1,2,34.课后习题:习题7.5A组习

7、题7.5B组5.课堂小结:-7-(1)本节中心内容是数学归纳法的应用,数学归纳法适用的范围是:证明某些与连续自然数有关的命题;(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分类是完全归纳法和不完全归纳法二种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明;归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方法,它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方法,是一种证明命题的方法!因此,它不属于“不完全归纳法”!甚至连“归纳法”都不是!鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(3)学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推(递归)思想,它的证

8、明步骤必须

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