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《高考专题-数学归纳法-沪教版教案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、海量课件、教案、试题免费下载,尽在kejian.glzy8.com课件下载网!数学归纳法一.知识梳理(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题,若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等二、典型例题讲解【例1】证明:(1)>1(2)>分析:如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难,但是如果用数学归纳法就比较容易.以下是详细证明过程.证明:(1)ⅰ:当n=1时,左=
2、>1,故n=1时不等式成立.ⅱ:假设当n=k时不等式成立,即>1那么当n=k+1时,左===>1故n=k+1时不等式成立根据(1)(2)可知:结论对于一切正整数n成立.(2)第一步:当n=1时,左=2,右=,故左>右,即n=1时不等式成立.第二步:假设n=k时不等式成立,即>那么n=k+1时,海量课件、教案、试题免费下载,尽在kejian.glzy8.com课件下载网!左=>===>0左>>n=k+1时不等式成立. 第三步:根据(1)(2)可知:对于一切正整数n不等式成立。【例2】证nÎN*时有>证明:显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个nÎN*,有³1-()…………(
3、1)用数学归纳法证明(1)式:①n=1时,(1)式显然成立,⑵设n=k时,(1)式成立,即³1-()则当n=k+1时,³〔1-()〕·()=1-()-+()³1-(+)即当n=k+1时,(1)式也成立。故对一切nÎN*,(1)式都成立。利用(1)得,³1-()=1-海量课件、教案、试题免费下载,尽在kejian.glzy8.com课件下载网!=1->故原式成立,从而结论成立。【例3】设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式.解:(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S
4、1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,于是(a2-)2-a2(a2-)-a2=0,解得=.(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即 Sn2-2Sn+1-anSn=0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①由(Ⅰ)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.由①可得S3=.由此猜想Sn=,n=1,2,3,…. 下面用数学归纳法证明这个结论.(i)n=1时已知结论成立.(ii)假设n=k时结论成立,即Sk=,当n=k+1
5、时,由①得Sk+1=,即Sk+1=,故n=k+1时结论也成立.综上,由(i)、(ii)可知Sn=对所有正整数n都成立. 于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,又n=1时,a1==,所以{an}的通项公式an=,n=1,2,3,….海量课件、教案、试题免费下载,尽在kejian.glzy8.com课件下载网!【例4】(09山东)等比数列的前n项和为,已知对任意的,点均在函数的图象上。(Ⅰ)求r的值。(Ⅱ)当b=2时,记求证:对任意的不等式成立解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,(2)当b=2时,,则
6、,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.②假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.海量课件、教案、试题免费下载,尽在kejian.glzy8.com课件下载网!【例5】(09陕西)已知数列满足,.猜想数列的单调性,并证明你的结论;(Ⅱ)证明:。证(1)由由猜想:数列是递减数列下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证命题成立(2)假设当n=k时命题成立,即易知,那么=即也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立(2)当n=1时,,结论成立当时,易知海量课件、
7、教案、试题免费下载,尽在kejian.glzy8.com课件下载网!三、同步练习一、选择题1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.6解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.证明:n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1