高考数学专题复习：数学归纳法.doc

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1、2.3　数学归纳法一、选择题1、用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋>(n>2)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项2、用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成(　　)A．假设n＝2k＋1(n∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确C．假设n＝k(k∈N*)时命题正确

2、，再推证n＝k＋2时命题正确D．假设n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确3、用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n＋1)(n∈N*)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.4、已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是(　　)A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对5、用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起

3、始值n0应取(　　)A．2B．3C．5D．66、用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等号左边的项是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3二、填空题7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．8、用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2

4、)假设当n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9、用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝时，则n＝k＋1时的左端应在n＝k时的左端加上____________________________．三、解答题10、等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>

5、0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．11、已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在正整数m，使得对任意n∈N*都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少？并证明之．12、在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．13、试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．以下是答案一、选

6、择题1、C　[当n＝k时，左边＝＋＋…＋.当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋.]2、B　[因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.]3、B　[当n＝k时左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，即(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．观察比较它们的变化知增乘了＝2(2k＋1)．]4、C　[观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…

7、＋，而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．]5、C　[当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.]6、C　[当n＝1时，an＋1＝a2.∴等号左边的项是1＋a＋a2.]二、填空题7、Sn＝解析　S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.8、没有用到归纳假设，不是数学归纳法．9、(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2三、解答题10、(1)解　由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－

8、1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)证明　当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·>.①当n＝1时，左式