2011高考数学专题复习：《数学归纳法》专题训练一.doc

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1、2011《数学归纳法》专题训练一一、解答题1、首项为正数的数列满足(1)证明：若为奇数，则对一切n≥2，都是奇数；(2)若对一切都有>，求的取值范围．2、已知数列是等差数列，(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项（其中>0且≠1．记是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论．3、设数列满足，其中为实数．(1)证明:∈[0，1]对任意成立的充分必要条件是∈[0，1]；(2)设．证明：(3)设，证明：4、已知数列记：求证：当时，5、设函数数列满足(1)证明：函数在区间(0，1)上是增函数；(2)证明：(3)设(，1)，整数证明

2、：>．6、已知数列中，(1)求数列的通项公式；(2)若数列中，证明：7、已知数列满足：=0．求证：(1)-l<<0；(2)>对一切都成立；(3)数列{}为递增数列．8、已知数列的前项和（为正整数）．(1)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)令，试比较与的大小，并予以证明．9、求证：以下是答案一、解答题1、解析(1)已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数．根据数学归纳法可知，对一切,都是奇数．(2)方法一由知，当且仅当<1或>3时，．另一方面，若O<<1，则；若>3，则>根据数学归纳法可知，对一切；对

3、一切综上所述，对一切，都有>的充要条件是O<<1或>3．方法二由，得，于是0<<1或>3.因为，所以所有的均大于0，因此与同号，根据数学归纳法可知，对一切与同号．因此，对一切，都有的充要条件是0<<1或>3.2、解析(1)设数列的公差为，由题意得，(2)由知，而，于是比较与的大小比较与的大小，取，有取，有推测：①当时，已验证()式成立；②假设(≥1)时()式成立，即则当时，从而即当时，（）式成立．由①②知，()式对任意正整数都成立，于是，当>l时，；当O<<1时，3、解析(1)必要性：又即[0，1].充分性：设[O，1]，对用数学归

4、纳法证明。∈[0，1]．当=l时，=O∈[0，1]，假设∈[0，1]（≥1且N*）则且由数学归纳法知，[0，1]对所有都成立．(2)设，当=l时，=0结论成立，当≥2且时．，由(I)知且1-(3)设，当=l时，．结论成立，当≥2且时，由(Ⅱ)知4、解析(1)用数学归纳法证明．①当=l时，因为是方程的正根，所以；②假设当（且）时，因为所以<.即当时，<也成立，根据①和②，可知<对任何都成立．(2)由得因为=O，所以由得<1，所以>-2.(3)由，得所以于是故当≥3时，又因为所以<3．5、解析(1)当0<<1时，所以函数在区间(0，1)

5、上是增函数．(2)当O<≥．否则，若<，则由0<≤<

6、纳法证明：()当时，因为所以<≤，结论成立；()假设当=（≥1且）时，结论成立，即即当=+1时，所以也就是说，当=+1时，结论成立．根据()和()知．7、解析已知条件可化为，即(1)①当=l时结论已成立；②假设当=（≥1且∈N*）时结论成立，即-1<<0，那么当=+l时，内为增函数，,则-1<<0当时结论成立．由①②知，对一切均有-1<<0．(2)①当时，成立；②假设当=（≥1且）时结论成立，即，即同上法可得，当时结论成立，由①②知对一切均有成立，，则两式相减得若把上式中的换成，则数列为递增数列．8、解析(1)在中，令，可得，即当≥

7、2时，，即，即当≥2时，又,数列是首项和公差均为l的等差数列．于是(2)由(1)得，①由①一②得于是确定与的大小关系等价于比较与的大小，由+1：…，可猜想当≥3时，>，证明如下：①当=3时，已证不等式成立；②假设当=(≥3)时，不等式成立，即>2+1.那么当=+l时，当=+l时，猜想也成立，综合①②可知，对一切≥3的正整数，都有综上所述，当=l，2时，；当n3时，9、解析当时，等式左边=2，右边=2，故等式成立；假设当=时等式成立，即那么当时，左边=这就是说当时等式也成立．综上可知原等式对于任意正整数都成立．