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《2010年高三数学高考易错典型习题专练：立体几何3.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010年高考数学易错典型习题专练立体几何四川理19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。解法一：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角形，，所以又因为，所以，即⊥,所以⊥平面。………4分（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN因为CN在平面
2、BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE…8分（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xy
3、z.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.从而，.所以,,.,.所以EF⊥BE,EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.M(0,0,),P(1,,0).从而=,于是·=·=0所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PMM∥平面BCE.…………8分(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.，即取y=1，则x=1，z=3。从而。取平面ABD的一个法
4、向量为。。故二面角F—BD—A的大小为arccos。…12分山东理（18）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1）证明：直线EE//平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1
5、D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（2）因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角,在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵∴,在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.解法二:（1）因为AB=4,BC=CD
6、=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,,,所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.【命题立
7、意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.广东理18．（本小题满分14分）如图6，已知正方体的棱长为2，点Ｅ是正方形的中心，点F、G分别是棱的中点．设点分别是点E、G在平面内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线；（3）求异面直线所成角的正弦值．面,面,从而,∵,∴面.（Ⅲ）∵,,∴,∴为异面直线所成角(或其补角),在中,,所以∴异面直线所成角的正弦值为.江西理20．（本小
