浅谈习题教学中强化逆向思维的训练

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1、浅谈习题教学中强化逆向思维的训练赣榆县金山职业高级中学罗威亮摘要：著名数学教育家波利亚指出：掌握假设是错误的，因而证得原命题结论是正确的五、常量、变量转换——逆转换元数学就意味着善于解题。因此注意指导、训练学(判断)。解决问题中紧紧把握问题“目标”，是解决生解题的思考方法是培养学生思维能力不可替例：已知函数f(x)在R上是严格增函问题成败的关键，直接寻得“目标”困难时，可以代的一个重要方面。在解题教学中，逆向思维的数，。，bER，若，(a)b)一。)一b)，求从其他相关元素的研究中间寻求出“目标”，从应用

2、可以培养思维的灵活性、灵敏性和深刻性，证：a+b≥0。而解决问题。可以克服由单向思维造成的解题方法的刻板和分析：欲证上述命题，正向推理，题设条件例：解方程(1+、／)．2=0僵化，通过正逆转换以旧引新，．可以探求新知不容易使用，转而逆向思维，利用反证法。分析：这是以为未知数的一元三次方程，识、新法则、新方法。在日常教学的习题训练中，证明：假设a+b<0，则口<一b，6<一0，根据单由于次数较高，我们不便求解，可将常量、／逆向思维的方法主要有分析法、反证法、补集调性可知o)一b)6)吨)o)b)<与未知数逆

3、元换位，将看作已知数，而将法、举反例、逆转等。·一a)一b)，这与已知矛盾。．‘．Ⅱ+6

4、解。3=一+L。‘二的结论出发，逐步向上逆推⋯⋯及时果断地作例：若三条抛物线，，；一2rex+m2-m，y=x2一六、逆向问题出此路不通即走彼路的判断，往往能寻找到解(4m+1)+4门+m，y=4x一(12m+4)+9m+8m+任何问题都存在它的逆向问题，当我们在题线索。12，其中至少有一条与轴有公共点，求实数m解完一道之后，可有意识地将这一问题中的结例：在△ABC中，若a-．b、c成等差数列，求的取值范围。论改为已知，某些已知改为所求；或考查原命题分析：若从正面人手，则应分有一条，或有证c。t、c。t孚

5、、c。t也成等差数列。的逆命题等。两条，或有三条抛物线与轴有公共点，共有七分析：这是一道综合性较强的题目，大部分例：某学习小组有8名同学，从男生中选出种情形，不胜其烦!现从反面思考，如果三条抛同学可从a-．b、c成等差数列得2b=a+c，但所证2人，女生中选出1人参加数学、作文、外语比物线与轴都没有公共点，则有，由△。<0，A2<0，式子与这差距较大，至此不少同学解题受阻，这赛，要求每科有一人参加，共有180种不同的选△3

6、的法，那么，该小组中男、女同学数分别是多少?条件，除三条抛物线与轴都没有公共点的情形，剩分析：本例显然是“某学习小组有8名同即要证：cotA一B下的就是至少有一条抛物线与轴有公共点学，2名女同学，从男生中选出2人，女生中选、c。【下、c。t也成等差数列，出1人参加数学、作文、外语比赛，要求每科有的情形了。故m的取值范围为m≥一_1_或只要证：c。t争一c。t争：c。t一c。t争，一人参加，问有多少种不同的选法?”的逆向问m≤一。题，这类逆向问题的解决，实际上还是利用了原即需证c0。。。__日n圣{问题的解

7、决方法，但又给学生一个训练待定系：上述问题通过反面思考，用补集法得到解法，毒sin．g-一毒sin-g-毒Sln一毒SINw-这种解法让学生感到轻松喜悦，对培养他们的探数法的极好机会。解：设小组中男同学数为m，则女同学数为索欲望大有裨益。一般地，从正面考虑问题要分别即证：sin手(sin争c。s争一c。s争sin争)=8-m，由题意得，CC。IP。3=180，解之得m=6或讨论多种隋况时，可想到用补集法去解决。5，当m=6时，8-m=2；当m=5时，8-m=3。sin争(sin争c。s一c。sBsin)，

8、四、否定命题——举反例要证明一个命题正确，一般需严格地论证七、教学实践反思也就是要证sin手sinAsin等，在所给条件下能逻辑地推导出结论。而证明一在日常的数学教学中有许多培养逆向思维即证．cos学sin学一等等，个命题错误，十分简洁而又极具说服力的办法的好素材，只要我们在教学中长期坚持、积极探是举出反例。反例通常是指符合命题条件但不索，并不失时机地利用这些素材，学生的逆向思即证(sinA—sinB)=l(sinB—sinC