浅谈数学中的逆向思维

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1、浅谈数学中的逆向思维：本文对数学中的逆向思维方法及运用进行了简单论述。　　关键词：逆向思维　　　　1什么是逆向思维　　人的思维过程是可逆的。如果我们把A?圯B的思维过程属于正向思维（正向思考）的话，那么B?圯A的思维过程则属于逆向思维（逆向思考）。人们习惯于正向思维，但在有些时候，逆向思维却更有利于问题的解决。从正向思维转向逆向思维是思维灵活性的一种表现。　　那么，什么时候考虑逆向思维呢？一般来说，当顺推不行时考虑逆推，直接解决不行时考虑间接解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性，……所有这些都属于逆向思维的范畴。当我们反复考

2、虑某个问题陷入困境时，逆向思维往往能使我们茅塞顿开，帮助我们找到解决问题的思路或办法。　　2分析法、反证法都是逆向思维的方法　　数学证明中的分析法、反证法都是逆向思维的方法。　　在数学证明中，按照逻辑推理本身的顺序和要求来说，应该是从题设条件出发，根据已知的定理条件逐步推出所要证明问题的结论，这是我们证明中常用的综合法。然而在某些时候，用综合法很难解决问题，比如很多无理不等式的证明就是如此。若反其道而行之，从要证明的结论出发进行倒推，逐步推到已知条件或明显成立的事实，从而得到结论的证明，这就是我们证明中常用的分析法。显然分析法是一

3、种逆向思维的方法，这种方法在不等式的证明中占有重要的位置。另外，我们常用分析法探索解题途径，用综合法形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法，也是训练逆向思维的一种途径。　　反证法也是一种逆向思维的方法。当我们直接证明一个问题发生困难时，常常考虑用反证法。反证法是先证明原命题的否定为假，进而肯定原命题为真。也就是说，反证法是考虑了两个方面，即原命题的反面与真实（成立）的反面，经过两次否定才完成整个证明的。虽然反证法的逻辑依据是排中律，但其思想方法却可以说是双重的逆向思维。　　3逆向思维方法运用举例　　关于逆向思维方法的

4、运用，举下面几个例子：　　例1求证：+<4　　证明：（用分析法）　　因为+和4都是正数，所以为证明+<4　　只需证明（+）2<42　　展开得8+2<16　　即2<8，<4，15<16.　　因为15<16成立，所以（+）2<42成立，　　即证明了+<4。　　注：此题若用综合法就比较困难，因为我们很难想到从“15<16”入手。事实上，很多含有根式的不等式的证明，用分析法比用综合法简便。　　例2用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数。　　解：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中以0开头的排列数为A，所以

5、它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的3位数的个数。所以所求3位数个数是：　　A-A=10×9×8-9×8=648　　答：可以组成648个没有重复数字的三位数。　　注：此解法是一种逆向思维的方法。它不是直接求没有重复数字的三位数的个数，而是先求不是三位数的3个不重复数字的排列数A，然后从所有不重复的三个数字的排列数A中将它减去，得到所求三位数的个数。　　例3直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。　　已知：，且a∥b(如图)，求证：a∥α。　　此定理若直接证明的话，

6、需证明直线a和平面α没有公共点（线面平行定义），这是非常困难的。若用反证法证，据已知条件，只需证=P不可能，这一点很容易做到。　　证明：（反证法）　　假设直线a和平面α不平行，　　　　ａ∥b，过a、b作平面β，则　　，此与a∥b相矛盾。　　∴a∥α。　　例4有四位同学，每人买1张体育彩票，求至少有两位同学彩票号码的末位数相同的概率。　　四位同学中至少有两位同学的彩票号码的末位数相同，这包括其中恰有某两位同学彩票号码的末位数相同、恰有某三位同学彩票号码的末位数相同、四位同学彩票号码的末位数都相同等多种互斥情况，逐一求其概率相当麻烦。

7、若用逆向思维方法，即先求四位同学所买彩票末位数号码各不相同的事件的概率。再求其对立事件——至少有二位同学彩票号码的末位数相同的概率就比较简单。　　解：记“四位同学所买彩票号码的末位数字各不相同”的为事件A，每人所买彩票号码的末位数均有0，1，2，…，9共10种可能，故基本事件总数为104个。若末位数字全部相同，则第1位同学的末位数字有10种情况，第2、3、4位同学分别只有9、8、7种，　　所以　　由于“至少有两位同学彩票号码的末位数相同”是事件A的对立事件。　　根据对立事件概率公式，得到：　　答：至少有两位同学彩票号码的末位数相同

8、的概率是。　　注：若事件B发生所包含的情况较多，而它的对立事件A（B不发生）所包含的情况较少，　　利用P（B）=1-P（A）计算B的概率则比较简便。这不仅体现了逆向思维，同时对培养思维的灵活性是很有益的。　　例5求Sn=1•3̶