思维论文：浅谈数学中的逆向思维

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1、思维论文：浅谈数学中的逆向思维摘要：本文主要介绍了什么是逆向思维，何时运用逆向思维。分析法、反证法都是逆向思维的方法，着重介绍了逆向思维方法的运用。关键词：思维逆向思维1什么是逆向思维人的思维过程是可逆的。如果我们把a?圯b的思维过程属于正向思维（正向思考）的话，那么b?圯a的思维过程则属于逆向思维（逆向思考）。人们习惯于正向思维，但在有些时候，逆向思维却更有利于问题的解决。从正向思维转向逆向思维是思维灵活性的一种表现。那么，什么时候考虑逆向思维呢？一般来说，当顺推不行时考虑逆推，直接解决不行时考虑间接

2、解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性……所有这些都属于逆向思维的范畴。当我们反复考虑某个问题陷入困境时，逆向思维往往能使我们茅塞顿开，帮助我们找到解决问题的思路或办法。2分析法、反证法都是逆向思维的方法数学证明中的分析法、反证法都是逆向思维的方法。在数学证明中，按照逻辑推理本身的顺序和要求来说，应该是从题设条件出发，根据已知的定理条件逐步推出所要证明问题的结论，这是我们证明中常用的综合法。然而在某些时候，用综合法很难解决问题，比如很多无理不等式的证明就是如此。若反其道而行之，从要证明的结论出发进行

3、倒推，逐步推到已知条件或明显成立的事实，从而得到结论的证明，这就是我们证明中常用的分析法。显然分析法是一种逆向思维的方法，这种方法在不等式的证明中占有重要的位置。另外，我们常用分析法探索解题途径，用综合法形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法，也是训练逆向思维的一种途径。反证法也是一种逆向思维的方法。当我们直接证明一个问题发生困难时，常常考虑用反证法。反证法是先证明原命题的否定为假，进而肯定原命题为真。也就是说，反证法是考虑了两个方面，即原命题的反面与真实（成立）的反面，经过两次否定才完成

4、整个证明的。虽然反证法的逻辑依据是排中律，但其思想方法却可以说是双重的逆向思维。3逆向思维方法运用举例关于逆向思维方法的运用，举下面几个例子：注：此题若用综合法就比较困难，因为我们很难想到从“15<16”入手。事实上，很多含有根式的不等式的证明，用分析法比用综合法简便。例2用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数。解：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为a103，其中以0开头的排列数为a92，所以它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的3位数的个数。所以所求3位数个数是：a

5、103-a92=10×9×8-9×8=648答：可以组成648个没有重复数字的三位数。注：此解法是一种逆向思维的方法。它不是直接求没有重复数字的三位数的个数，而是先求不是三位数的3个不重复数字的排列数a92，然后从所有不重复的三个数字的排列数a103中将它减去，得到所求三位数的个数。例3直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。已知：a￠α，bcα且a∥b(如图)求证：a∥α。此定理若直接证明的话，需证明直线a和平面α没有公共点（线面平行定义），这

6、是非常困难的。若用反证法证，据已知条件，只需证a∩α=p不可能，这一点很容易做到。证明：（反证法）假设直线a和平面α不平行，∵a￠α∴a∩α=pa∥α，过a、b作平面β，则a∩β=b∴p∈b，此与a∥b相矛盾。∴a∥α例4有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率。4位同学中至少有2位同学的彩票号码的末位数相同，这包括其中恰有某2位同学彩票号码的末位数相同、恰有某3位同学彩票号码的末位数相同、4位同学彩票号码的末位数都相同等多种互斥情况，逐一求其概率相当麻烦。若用逆向思维

7、方法，即先求4位同学所买彩票末位数号码各不相同的事件的概率。再求其对立事件——至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率就比较简单。注：若事件b发生所包含的情况较多，而它的对立事件a（b不发生）所包含的情况较少，利用p（b）=1-p(a)计算b的概率则比较简便。这不仅体现了逆向思维，同时对培养思维的灵活性是很有益的。例5求sn=1·3·5+3·5·7+5·7·9+…（2n-1)(2n+1)(2n+3)按照习惯的思维是将和式sn中的通项展开，把sn分解成自然数与一个常数列之和。如果对自然数的立方数列与平方数

8、列的求和不熟，一切将从头做起，十分麻烦。现在考虑一个比sn的数列更为复杂，但结构与其相似的数列（这是一个表面上与“简单化”方向完成相反的大胆做法）sn*=1·3·5·7+3·5·7·9+5·7·9·11+…（2n-1)(2n+1)(2n+3)（2m+5)记ak=（2k-1)(2k+1)(2k+3)（2k+5)…(*)，（k=1，2，…，n）由ak+1-ak=8(2k+1)(2k+3)（2k+5)…(*)可知，sn*中每相邻两项之差的八分之一