浅谈逆向思维在数学中的应用

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1、浅谈逆向思维在数学中的应用佛冈县第一中学数学科组冯福成逆向思维在数学屮的应用非常广泛，有些问题从正而分析较为困难时，可以考虑从反面用逆向思维來解决，因为止难则反，有时会收到意想不到的效杲。我们先看一个例子：某单位有7个人参加乒乓球比赛，采取单淘汰制（即输一场就出局），决出冠军要打多少场比赛？如果是2003人呢？分析：如果是7个人，可以先抽出6个人，参加比赛，决出3人，还有一个人轮空；第二轮屮共4人，耍打两场比赛，决出2人进行决赛；第三轮是最后的两人决赛要打一场;一共要打3+2+1=6场球。如果是2003人，按同样的方法来统

2、计，那么就麻烦了。我们能否用其它的办法來解决呢？如果用逆向思维來思考的话，问题相对而言要简单多了。反过来分析这个问题，因为赛制是输一场出局，一共是7人，也就是要淘汰6人，所以要打6场球。同样的，2003人比赛，要淘汰2002人才能拿冠军，也就是说要打2002场球。如果是双淘汰制呢？这个问题留给读者思考。卜•面我们再看一个例了：某城市有一条街道，共有100盏编了号码的已经熄了的电灯,如果按下面的做法，最后亮着的灯应该是那几盏？第一轮，凡是号码是1的倍数的灯的开关按一下：第二轮，凡是2的倍数的电灯的开关按一下：第三轮，凡是3的

3、倍数的电灯的开关按一下；000000；笫一百轮，凡是100的倍数的灯都按一下。分析：因为电灯开始是熄的，如果按奇数次开关，电灯就会亮，如杲按偶数次的话，电灯仍然是熄的。止面分析比较困难，如果我们能从反面来分析，问题将会容易点。倍数的反义词是约数，问题转化为问1至100的数中，冇奇数个约数的数是什么数？我们先从简单的知识谈起，一般来说，一个数的约数是成双成对出现的，例如48=1*48=2*24=3*16=4*12=6*8,共有1,2,3,4,6,8,12,16,24,48十个约数,但是，完全平方数就不同,例如64=1*64=

4、2*32=4*16=8*8,共有1,2,4,8,16,32,64七个约数，本来约数是成对出现的，由于8*8是重复出现，合二为一，所以完全平方数只有奇数个约数，也就是说，最后是完全平方数的号码的灯是亮的，即第1,4,9,16,25,36,49,64,81,100号的电灯是亮的。一、逆向思维在反证法的应用从以上的例子可知，逆向思维在解题屮占有很重要的作用和地位，是一个不可缺少的数学思想。其屮，加法是减法的逆向运算，乘法是除法的逆向运算等等。在证明方面，反证法就是逆向思维的一种应用。反证法的证题的步骤可以分训三步；(1)反设：作

5、岀与求证的结论P相反的假设：(2)归缪：由反设出发，导出盾的结果；(3)作出结论：证明了反设不能成立，从面证明了所求的结论P成立。例1、已知a,b,c都是奇数，证明:方程ax2+bx+c=0没有有理根。证明：假设原方程有有理根p/q,其中和不全是偶数，因为假设P为偶数，Q为奇数，a(p/q)2+b(p/q)+c=O,ap2+bpq+cq2=O,曲于ap2+bpq是偶数，cq2必是偶数，但这是不口J能的，因为C,Q都是奇数，当P,Q都是奇数吋，面最后的等式说明三个奇数的和是偶数，这是不可能。所以假设不成立，原方程没有有理根。

6、例2、已知Ovavl,Ovbvl,Ovcvl,求证：(l-a)b,(l-c)b,(l-c)a不能都大于1/4。证明:假设(l-a)b,(l-c)b,(l-c)a都大于1/4,因为0O,Ol/2l-a+b>l,(1)l-b+c>l(2)l-c+a>l(3)(1)+(2)+⑶得,3>3,矛盾，假设不成立(l-a)b,(l-b)c,(l-c)a不能都大于1/4。例3、证明：两个复数不能比较大小。证明:用反证法。如果0

7、,那么0+1(-1+1,即1〈0。这样就得出矛盾，假设不成立，所以两个复数不能比较大小。以上几个例子可知，逆向思维在解题屮起到相当大的作用。二、逆向思维在排列组合的应用我们先了解对立事件的概念，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，两个事件必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。即P(A)=1-P(A),有吋我们计算P(A)困难时，可以通过计算P(A)来求得。例4、在20件产品中,有15件一级品，5件二级品,从中任取3件,其中至少有1件为二级品的概率是多少？分析：如呆直接求解的话，要考虑的情况较多，在取得的3件产品屮，满足条件

8、的可能有1件，2件或者3件二级品三种情况。但如果从对立角度来分析，就只有一种情况:那就是没冇二级品。-r3]37解：P(A)=1-P(A)=1--^=—oc；。228例5、某型号的高射炮，每一门发射1次击屮飞机的概率为0.6,现冇若干门同时独立地对來犯敌机各射击一次，耍求击中敌机和概率主为99%,那么至