立足方法 巧解三角-论文.pdf

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1、数学版中学生理科应试·15·立足方法巧解三角河北省正定中学(050800)l赵建勋关于三角变换的问题各家杂志早有论述，而且所以当sinx=÷时，。的最大值为詈；当sinx=一1同学们对这类问题解法也比较熟悉．本文避开这些谈谈解三角题常用的数学方法，供同学们复习参考．时，n的最小值为一2．所以。的值域为[一2，÷]．一、配方法例1已知3sind+2sin口=2sintx，求sin+故当一2≤口≤÷时，方程cos2x+sinx=o有sinJB的取值范围．解．解由已知sin2fl：—2s—ina—-3一sin2ot≥0点评此题是用函数思想解决方程问题，较直·

2、接用方程理论求解简单得多，不妨一试．另此法用了．．2sina一3sin≥0，即3sina一2sina≤0，配方法求值域．解得0≤sin≤了2．二、平方法’例3已知sinA+sinB+sinC=0．且cosA+sina+sin卢=sina+÷(2sin一3sin)cosB+cosC=0，求COS(B—C)的值．分析由已知条件和结论的角对照，必须消去A．=一÷sin2+sina=一号(sin2一2sinot)注意sin+cos2A：1，由条件移项平方相加即可．：一解由已知等式移项，有{(s一+1．(配方)sinB+sinC=一sinA①由0≤sina≤2知

3、0≤sin+sin2卢≤4由≤≤知≤+卢≤．cosB+COSC=——cosA②．，由①+②，得点评配方法是解三角题的常用方法，应注意sinB+2sinBsinC+sinC+cosB+2cosBCOSC运用，求三角函数的范围和最值时常用．+COS2C=1例2若方程cos2x+sinx=a有解，求a的取即2+2(cosBcosC+sinBsinC)=1。值范围．所以2COS(B—c)：一1，故COS(日一G)：一—1解由cos2x+sinx=a，得．a=cos2+sinx例4已知si眦+siny：√2=一2sin+sinx+1(视a为sinx的二次函数)-

4、5-，求c。舛+c。的=一2(sin一÷sin)+1取值范围．解令COSX+cosy=a①=一2(sinx一1詈．又si眦+siny：②因为一1≤sinx≤1，所以sinx=寺∈[一1，1]，由①+②，得当a一1≥0时，当=a一1时取最小值，即数．求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟lMAI2．n=2a一1；悉，但含参数a，以及还有隐含条件≥0的限制，所当a一1<0时，当=0时取最小值，即以要从中找出正确的分类标准，从而得到d=n)IMAI2=a；的函数表达式．当然引起分类讨论的因素还有很多，但有时能综上所述{．回避分类讨论的还要尽可能回避．(收稿

5、13期：2014—02—12)点评本题解题的基本思路是先建立目标函·16·中学生理科应试2014．92+2c。s(—y)=1+。2，因为c。s(一手)=c。sc。s予+sinsin予0s(=。2一手．=等(cos+sin2~)‘‘一．1≤eo$(x—Y)≤1．c。=2c。s一1=29—1=一．·一．．-≤÷n2一号又c。=了3≤卢<，所以si=一了4，，解得一≤。≤孚．所以sir=2sin~e。=2×(一÷)×÷=一24．所孚一⋯s，，≤2．以cos(一予)=(c。s+sin)=一．点评对结论整体换元，为实施平方创造了条件点评通过对角的换元，把原命题转

6、化为与它三、换元法等价的另一种形式，使问题简便求解．例5若0<<二，求函数)，=(1+士Sln)(1四、方程法例7已知sin2+sin2cos—eO$2~=1，∈+一)的最小值．n(0，)，求sin，tan的值．解，，：(1+_L)(1+一)81nxcos解由倍角公式sin2~=2sincos，cos2~=2cos一1，把原式变形为1+L：4sincos+2sincos一2cos：0~．2cos(2sin+sin一1)=0设si眦+c。=lJsi似c。=．e：~2eos(2sin~一1)(sina+1)=0因为￡=sinx+c。蹦=sin(+詈)，y．

7、N~0因为∈(0，)，所以sin+1≠0，cos≠0．·<<要，所以1<￡≤．．．2sin一1=‘．sjn=寺，．．．=詈，所以所以=·=ttan_tan詈=等．点评给出三角函数等式求某三角函数值，常=1+·转化为方程求解．由l

8、通过解方程例6已知c。s(+予)=了3，号≤<孚，达到目的．解因为角A、B、C成等差数列，即=