复变函数发展简况.doc

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1、复变函数发展简况班级：2010级⑵班学号：2010508115姓名：王彪复变函数发展简况什么是复变函数？以复数作为白变量的函数就叫做复变函数，而与Z相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数屮一类具冇解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲曲理论、儿何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根屮就出现了负数开平方的情况。在很长时间里,人们对这类数不能理解。但随看数

2、学的发展，这类数的重要性就口益显现出来。复数的一般形式是：a+bi,其屮i是虚数单位。复变函数论产生于I-八批纪。1774年，欧拉在他的一篇论文屮考虑了由复变函数的积分导出的两个方稈。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文屮，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔■欧拉方稈”。到了十九世纪，上述两个方稈在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西•黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的育接扩展统治了I-八世纪的数学那

3、样，复变函数这个新的分支统治了1-九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支,并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学屮嚴和谐的理论z—。为复变函数论的创建做了报早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随麻研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。示来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和徳国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论乂有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究丁作，开拓了复变函数论更广阔的硏

4、•究领域,为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的血很广，有很多复杂的计算都是用它來解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理童的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方稈、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有

5、影响。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面现论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方血的内容。如果当函数的变最取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种山「血叫做黎曼1111血。利用这种Illi面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常肓观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲血，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论

6、是复变函数域和几何间的一懈桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和儿何联系起来。近来，关于黎曼1111面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论屮用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映彖理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映彖在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方血都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义

7、比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭冋路曲线的积分示，再用留数基木定理化为被积分函数在闭合冋路1111线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究丁作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基木性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范F貝很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，

8、而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被丿M川在实际问题屮，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论屮仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取