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《（新课程）2013高中数学 《2.4.1.2 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角》活页规范训练 苏教版必修4.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、（新课程）2013高中数学《2.4.1.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角》活页规范训练1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于________．解析 ·＝(1,1)·(－3,3)＝－3＋3＝0.答案 02．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．解析 cosθ＝＝＝－，又θ∈[0,2π]．∴θ＝.答案 3．已知a＝(4,7)，b＝(－5，－2)，则
2、a－b
3、＝________.解析 因为a－b＝(9,9)，所以
4、a－b
5、＝＝9.答案 94．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x
6、)，m⊥n，则x＝________.解析 4(x－5)＋x＝0，∴x＝4答案 45．已知a＝(3，－1)，b＝(1,2)，向量c满足a·c＝7，且b⊥c，则c的坐标是__________．解析 设c＝(x，y)，则a·c＝3x－y＝7.b·c＝x＋2y＝0，解得x＝2，y＝－1.答案 (2，－1)6．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．解 由已知a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(2t＋4，t－3)．∴(a＋tb)·b＝2(2t＋4)＋(t－3)＝5t＋5.
7、a＋tb
8、＝＝，又
9、b
10、＝＝
11、.∵(a＋tb)·b＝
12、a＋tb
13、
14、b
15、cos45°，5∴5t＋5＝××.即(t＋1)＝.两边平方整理，得t2＋2t－3＝0.解得t＝1或t＝－3.经检验t＝－3是增根，舍去，故t＝1.7．已知a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则a·(b·c)＝________，(a·b)·c＝________.解析 b·c＝(－1，－2)·(2,1)＝－1×2＋(－2)×1＝－4，a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)；a·b＝(2,3)·(－1，－2)＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，(a·b)·c＝－8×(2,
16、1)＝(－16，－8)．答案 (－8，－12) (－16，－8)8．已知a＝(4,2)，与a垂直的单位向量b＝________.解析 设b＝(x，y)，则由得或答案 或9．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，
17、c
18、＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________．解析 依题a＋b＝(－1，－2)．设c＝(x，y)．而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.cosθ＝＝＝＝－.又0°≤θ≤180°∴a与c的夹角为120°.答案 120°10．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，θ∈，b＝(0，－1)，则向量a与b的夹角为__
19、______．解析 ∵
20、a
21、＝2，
22、b
23、＝15设a与b的夹角为α，则cosα＝＝＝－sinθ＝cos∵θ∈∴－θ∈答案 －θ11．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D和向量的坐标；(3)设∠ABC＝θ，求cosθ.解 (1)＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)＝(2，－1)∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴⊥，即AB⊥AC.(2)设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)，∵AD⊥BC，∴·＝5(x－2)＋5(y－4)
24、＝0①又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，∴5(x＋1)－5(y＋2)＝0②联立①②，解得x＝，y＝，故D点坐标为，∴＝＝.(3)cosθ＝＝＝.512．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.证明 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示．设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴＝(－1,1)，＝(1,1)∴·＝－1×1＋1×1＝0∴⊥，即BC⊥AC.13．(创新拓展)已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，
25、使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．解 设a与b的夹角为θ，
26、a
27、＝＝，
28、b
29、＝，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ＜0且cosθ≠－1，即a·b＜0且a与b不反向．由a·b＜0得1＋2λ＜0，故λ<－，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为－∞，－.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ＞0，且cosθ≠1，即a·b＞0且a，b不同向．由
30、a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.5所以λ的取值范围为－，2∪(2，＋∞).5
