向量数量积的坐标表示、模、夹角

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1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.4平面向量的数量积高一Ⅱ部数学备课组问题提出1.向量a与b的数量积的含义是什么？a·b=

2、a

3、

4、b

5、cosθ.其中θ为向量a与b的夹角2.向量的数量积具有哪些运算性质？（1）a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)；（2）a2＝︱a︱2；（3）a·b＝b·a；（4）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；（5）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；（6）︱a·b︱≤︱a︱︱b︱.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，对向量的加、

6、减、数乘运算带来了很大的方便.若已知向量a与b的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角探究（一）：平面向量数量积的坐标表示思考1：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则向量a与b用i、j分别如何表示？a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.思考2：对于上述向量i、j，则i2，j2，i·j分别等于什么？i2=1，j2=1，i·j=0.思考3：根据数量积的运算性质，a·b等于什么？思考

7、4：若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？a·b＝x1x2＋y1y2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.思考5：如何利用数量积的坐标表示证明(a＋b)·c＝a·c＋b·c？探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示思考1：设向量a＝(x，y)，利用数量积的坐标表示，︱a︱等于什么？思考2：如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，那么向量a的坐标如何表示？︱a︱等于什么？︱a︱a＝(x2－x1，y

8、2－y1)；︱a︱＝思考3：设向量a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角为θ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那么cosθ如何用坐标表示？a⊥bx1x2＋y1y2＝0.例1已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2),求:(1)a·b；(2)(a＋2b)·(a－b)；(3)

9、a

10、2－4a·b.理论迁移(1)2；（2）17；（3）－3.例2已知点A（1，2）,B（2，3）,C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

11、△ABC是直角三角形例3已知向量a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求向量a与b的夹角θ（精确到1°）.cosθ≈－0.03，θ≈92°.例4已知向量a＝(λ，－2)，b＝(－3，5)，若向量a与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.例5已知b＝(1，1)，a·b＝3，

12、a－b

13、＝2，求

14、a

15、.课堂小结2.若非零向量a与b的夹角为锐角（钝角），则a·b＞0（＜0），反之不成立.1.a∥ba⊥b3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.