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《(新课程)2013高中数学 《2.5 向量的应用》活页规范训练 苏教版必修4.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(新课程)2013高中数学《2.5向量的应用》活页规范训练1.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是________.解析 由·=0⇒⊥,又=,∴AB綉DC.答案 矩形2.作用于一个物体的两个力F1、F2的大小都是10,F1与F2的夹角为60°,则F1+F2的大小为________.解析
2、F1+F2
3、=2×10×=10.答案 103.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m,若牵绳与行进方向夹角为,人的拉力为50N,则纤夫对船所做的功为________.解析 功W=60×50×cos30°=1500(J).答案 1500J4.△ABC中,
4、
5、=3,
6、
7、
8、=4,
9、
10、=5,则·=______.解析 由已知△ABC是直角三角形,∠A=90°.∴⊥.∴·=0.答案 05.如图,非零向量=a,=b且BC⊥OA,C为垂足,若=λa,则λ=________.解析 =λa-b,a·(λa-b)=0,则λ=.答案 6.求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.5证明 如图所示,▱ABCD中:=,=,=+∴
11、
12、2=
13、+
14、2=
15、
16、2+
17、
18、2+2·而=-∴
19、
20、2=
21、-
22、2=
23、
24、2+
25、
26、2-2·∴
27、
28、2+
29、
30、2=2
31、
32、2+2
33、
34、2=
35、
36、2+
37、
38、2+
39、
40、2+
41、
42、2.即AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.7.用两
43、条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体,如图,已知物体的重力大小为10N,则每根绳子的拉力大小是________.解析 因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根绳子的拉力大小都是10N.答案 10N8.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的________.解析 由·=·=·,可得·-·=0,(-)·=0,即·=0,⊥,同理可证⊥,⊥.所以O是△ABC的垂心,即三条高的交点.5答案 垂心9.一条河宽为400m,一船从A出发航行,垂直到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船
44、到达B处所需时间为________min.解析 船和水流速度的合速度是船的实际航行速度,如图.
45、v1
46、=20km/h,
47、v2
48、=12km/h.根据勾股定理
49、v
50、=16km/h=m/min.∴所需时间为=1.5(min).答案 1.510.已知直线l1:3x+4y-12=0,l2:7x+y-28=0,则直线l1与l2的夹角是________.解析 在直线l1上任取两点得向量v1=(4,-3),l2上任取两点得向量v2=(1,-7),则v1与v2的夹角为θ.则
51、cosθ
52、===.∴两直线夹角为45°.答案 45°11.如图所示,在平行四边形ABCD中,BC=2BA
53、,∠ABC=60°,作AE⊥BD交BC于E,求BE∶EC.解 法一 (基向量法)设=a,=b,
54、a
55、=1,
56、b
57、=2.a·b=
58、a
59、
60、b
61、cos60°=1,=a+b.设=λ=λb,则=-=λb-a.由AE⊥BD,得·=0.即(λb-a)·(a+b)=0.5解得λ=,∴BE∶EC=∶=2∶3.法二 以B为坐标原点,直线BC为x轴建立平面直角坐标系,根据条件,设B(0,0),C(2,0),A,D.又设E(m,0),则=,=.由AE⊥BD,得·=0.即-×=0,得m=,所以BE∶EC=∶=2∶3.12.在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7).求∠A
62、的角平分线的方程.解 =(3,4),=(-8,6),∠A的角平分线的一个方向向量为:+=+=.∵∠A的角平分线过点A.∴所求直线方程为-(x-4)-(y-1)=0.整理得7x+y-29=0.13.(创新拓展)两个人用同样的力量共提一个重力为G的旅行包,两人所用力F1,F2的夹角为θ.(1)试讨论θ的大小与
63、F1
64、的关系;(2)θ为何值时,
65、F1
66、最小,最小值是多少?(3)
67、F1
68、能等于
69、G
70、吗?为什么?解 如图所示.由平行四边形法则及直角三角形的知识得5
71、F1
72、=.(1)通过上面的式子,可以发现,当θ由0°到180°逐渐变大时,由0°到90°逐渐变大,cos的
73、值由大逐渐变小,因此
74、F1
75、由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力.(2)要使
76、F1
77、最小,则cos最大,又0°≤θ≤180°,0°≤≤90°,∴当θ=0°时cos最大,
78、F1
79、最小为,此时两个人的手臂应靠在一起.(3)要使
80、F1
81、=
82、G
83、,则2cos=1,则cos=,=60°,θ=120°,∴两臂的夹角为120°时,
84、F1
85、=
86、G
87、.5